Uma estação de metrô está testando dois planejamentos para um sistema de recomendação de itinerários. Em cada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma estação de metrô está testando dois planejamentos para um sistema de recomendação de itinerários. Em cada planejamento, o sistema combina uma entrada, uma linha, um sentido de viagem e uma sequência ordenada de três plataformas de transferência distintas, entre as quais deve haver exatamente uma plataforma acessível. No planejamento A, há 3 entradas, 4 linhas, 2 sentidos, 2 plataformas acessíveis e 4 plataformas comuns. No planejamento B, há 4 entradas, 3 linhas, 2 sentidos, 3 plataformas acessíveis e 5 plataformas comuns. As categorias de plataformas são separadas, e a sequência não pode repetir plataformas. Considerando os dois planejamentos descritos, quantas vezes o total de itinerários do planejamento B corresponde ao total do planejamento A?
- A) O planejamento B gera 2 vezes o total de itinerários do planejamento A
- B) O planejamento B gera 3 vezes o total de itinerários do planejamento A
- C) O planejamento B gera 3,75 vezes o total de itinerários do planejamento A
- D) O planejamento B gera 2,5 vezes o total de itinerários do planejamento A
- E) O planejamento B gera 1,5 vez o total de itinerários do planejamento A
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:C Passo 1: Para cada planejamento, multiplicamos o número de entradas, linhas e sentidos pelo número de sequências ordenadas com exatamente uma plataforma acessível e duas comuns.
- Para A, há 2 posições possíveis para a plataforma acessível, 2 escolhas dessa plataforma e 4 × 3 maneiras ordenadas de escolher as comuns. Logo, há 2 × 2 × 4 × 3 = 48 sequências. O total é 3 × 4 × 2 × 48 = 1.152 itinerários.
- Para B, há 3 posições possíveis para a plataforma acessível, 3 escolhas dessa plataforma e 5 × 4 maneiras ordenadas de escolher as comuns. Logo, há 3 × 3 × 5 × 4 = 180 sequências. O total é 4 × 3 × 2 × 180 = 4.320 itinerários.
- A razão B/A é 4.320 ÷ 1.152 = 3,75. Portanto, a alternativa C está correta. A alternativa A indica 2 vezes, B indica 3 vezes, D indica 2,5 vezes e E indica 1,5 vez; todas divergem da razão calculada. O gabarito oficial D está incorreto: a razão correta é 3,75.
💡 Dica: Conte as sequências como 3! vezes a escolha da plataforma acessível e das duas comuns; depois multiplique pelas demais opções e compare os totais.
Alternativa por alternativa
Conta a sequência de plataformas do B como 3*3*4*4 = 144, tratando o número de plataformas comuns como quatro; então, (24*144)/(24*72) = 2. O texto informa cinco plataformas comuns no planejamento B.
Por que engana: Contar a escolha das três plataformas sem considerar a ordem ou permitir repetição.
Conta a sequência de plataformas do A como 3*2*5*3 = 90, usando no lugar das quatro plataformas comuns o total de cinco categorias de plataformas do planejamento B; assim, (24*180)/(24*90) = 2. A contagem do planejamento A deve usar as quatro plataformas comuns indicadas para ele.
Calcula as sequências do B como 3*3*5*6 = 270, contando seis ordenações para as duas plataformas comuns depois de escolher a acessível; assim, (24*270)/(24*72) = 3,75. Há cinco plataformas comuns, portanto a escolha ordenada de duas delas é 5*4, não 5*6.
No planejamento A, há 3 × 2 × 4 × 3 = 72 sequências de plataformas e 3 × 4 × 2 = 24 combinações das demais escolhas, totalizando 1.728 itinerários. No planejamento B, há 3 × 3 × 5 × 4 = 180 sequências e 4 × 3 × 2 = 24 combinações das demais escolhas, totalizando 4.320 itinerários. Como 4.320 dividido por 1.728 é 2,5, o total do planejamento B é 2,5 vezes o do planejamento A.
Usa três plataformas comuns no B: 3*3*3*4 = 108 sequências; então, (24*108)/(24*72) = 1,5. O planejamento B tem cinco plataformas comuns, não três.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e contagem de sequências com restrição de categoria.
fixacao
Princípio fundamental da contagem. · Fatorial e permutações de elementos distintos.
Arranjos ordenados com elementos distintos e escolha por categorias.
Contar a escolha das três plataformas sem considerar a ordem ou permitir repetição.
Mobilidade urbana e acessibilidade.
cotidiano
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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