Em uma ilha, artesãs e artesãos planejam criar placas decorativas inspiradas nas embarcações locais. Cada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma ilha, artesãs e artesãos planejam criar placas decorativas inspiradas nas embarcações locais. Cada placa combina uma silhueta, uma borda, emblemas e duas faixas, uma superior e outra inferior. No plano A, há 4 silhuetas, 3 bordas e 5 emblemas disponíveis; as faixas são escolhidas entre 4 cores, sem repetir cor, e exatamente uma delas deve ser branca. No plano B, há 5 silhuetas, 2 bordas e 4 emblemas disponíveis; para as faixas, há 2 cores quentes e 2 cores frias, e deve ser usada exatamente uma cor de cada grupo. Todas as escolhas das demais partes são independentes, e placas que diferem em qualquer escolha são consideradas distintas. Com base nos critérios apresentados, qual comparação entre a quantidade de placas distintas dos dois planos está correta?
- A) O plano A permite 480 placas e o plano B permite 240; assim, o plano A oferece 240 placas a mais
- B) O plano A permite 240 placas e o plano B permite 240; assim, os dois planos permitem a mesma quantidade
- C) O plano A permite 480 placas e o plano B permite 320; assim, o plano A oferece 160 placas a mais
- D) O plano A permite 240 placas e o plano B permite 320; assim, o plano B oferece 80 placas a mais
- E) O plano A permite 360 placas e o plano B permite 320; assim, o plano A oferece 40 placas a mais
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:A Passo 1: No plano A, as escolhas de silhueta, borda e emblema dão 4 × 3 × 5 = 60 combinações. Para as faixas, a branca pode ficar em qualquer uma das duas posições; a outra faixa pode ser uma das 3 cores restantes. São 2 × 3 = 6 possibilidades, totalizando 60 × 6 = 360 placas.
- No plano B, silhueta, borda e emblema dão 5 × 2 × 4 = 40 combinações. Para as faixas, escolhe-se uma das 2 cores quentes e uma das 2 frias, e a ordem nas posições superior e inferior pode ser invertida: 2 × 2 × 2 = 8 possibilidades. Total: 40 × 8 = 320 placas.
- O plano A tem 40 placas a mais que o B. Portanto, a alternativa E está correta. O gabarito oficial coincide com essa conclusão.
- A está errada porque superestima as contagens; B afirma igualdade; C superestima A e também erra a diferença; D inverte qual plano tem mais placas.
💡 Dica: Conte separadamente as escolhas das faixas em cada plano e multiplique pelas opções independentes das demais partes.
Alternativa por alternativa
No plano A, conta 2*4 = 8 maneiras para as faixas, incluindo indevidamente a branca entre as opções da outra faixa; no plano B, conta 2*3 = 6 maneiras, como se houvesse três cores de cada grupo: 4*3*5*8 = 480 e 5*2*4*6 = 240. Ambos os procedimentos alteram as escolhas indicadas no texto.
No plano A, usa 4 maneiras para as faixas, obtendo 4*3*5*4 = 240. No plano B, usa 6 maneiras para as faixas, obtendo 5*2*4*6 = 240. As contagens das faixas não respeitam os critérios de cores e posições descritos.
No plano A, usa 2*4 = 8 maneiras para as faixas, contando as quatro cores como opções para a faixa não branca: 4*3*5*8 = 480. Essa etapa inclui indevidamente a cor branca também como escolha da outra faixa.
No plano A, considera 4 escolhas para as faixas: 4*3*5*4 = 240. O cálculo ignora que a faixa branca pode ocupar duas posições e que a outra cor tem três opções; por isso, a contagem correta das faixas é 6.
Por que engana: Tratar as faixas como não ordenadas ou ignorar a condição de cores em um dos planos.
No plano A, as faixas podem ser ordenadas de 6 maneiras: 2 posições para a faixa branca e 3 opções para a outra cor. Portanto, há 4 x 3 x 5 x 6 = 360 placas. No plano B, as faixas podem ser ordenadas de 8 maneiras: 2 escolhas para a posição da cor quente, 2 cores quentes e 2 frias. Assim, há 5 x 2 x 4 x 8 = 320 placas. A diferença é 360 - 320 = 40.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo da contagem com restrições
avaliacao
Princípio fundamental da contagem · Contagem de escolhas ordenadas sem repetição
Contagem de escolhas ordenadas sem repetição e com condições
Tratar as faixas como não ordenadas ou ignorar a condição de cores em um dos planos.
cotidiano
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