Para uma exposição de arte, uma equipe planeja dois painéis retangulares com áreas iguais de 96 m². No plano…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para uma exposição de arte, uma equipe planeja dois painéis retangulares com áreas iguais de 96 m². No plano A, os lados medem x metros e (x + 4) metros, com x positivo. No plano B, os lados medem 16 m e 6 m. A equipe deseja escolher o plano que use menos material para contornar o painel, considerando que esse material é calculado pelo perímetro. Qual plano exige menos material para o contorno e qual é a diferença entre os perímetros?
- A) O plano A exige 4 m a menos de material para o contorno que o plano B.
- B) O plano A exige 12 m a menos de material para o contorno que o plano B.
- C) O plano A exige 16 m a menos de material para o contorno que o plano B.
- D) O plano B exige 18 m a menos de material para o contorno que o plano A.
- E) O plano B exige 2 m a menos de material para o contorno que o plano A.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- No plano A, os lados são x e x + 4, e a área é 96 m². Logo x(x + 4) = 96, ou seja, x^2 + 4x - 96 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, x = (-4 ± raiz de 400) / 2 = (-4 ± 20) / 2. Como x é positivo, x = 8. Os lados do plano A são 8 m e 12 m. Passo 2: Verificação da área: 8 × 12 = 96 m², o que confirma o resultado. Passo 3: Perímetro do plano A: 2 × (8 + 12) = 40 m. Passo 4: No plano B, os lados são 16 m e 6 m, com área 16 × 6 = 96 m², igual à do plano A, como o enunciado exige. Passo 5: Perímetro do plano B: 2 × (16 + 6) = 44 m. Passo 6: Comparando, o plano A exige menos material, pois 40 m < 44 m. A diferença é 44 - 40 = 4 m. Passo 7: Assim, a alternativa A está correta, pois afirma que o plano A exige 4 m a menos que o plano B. As demais estão erradas: a B indica 12 m, valor que não corresponde à diferença entre os perímetros; a C indica 16 m, que é apenas um dos lados do plano B; a D inverte qual plano exige menos material; a E também inverte o plano e apresenta uma diferença de 2 m, que não é a real.
💡 Dica: Iguale x(x+4) a 96, encontre x positivo e compare os perímetros.
Alternativa por alternativa
No plano A, x(x + 4) = 96, então x² + 4x - 96 = 0 = (x + 12)(x - 8), cuja solução positiva é x = 8. Seus lados medem 8 m e 12 m, e seu perímetro é 40 m. O perímetro do plano B é 2(16 + 6) = 44 m; portanto, o plano A economiza 4 m.
O aluno provavelmente tomou um lado do retângulo (como os 12 m do plano A) como se fosse a diferença entre os perímetros, em vez de comparar os dois perímetros completos de 40 m e 44 m.
O aluno provavelmente usou o lado de 16 m do plano B como se fosse a diferença entre os perímetros, sem calcular o perímetro de cada plano.
O aluno inverteu a comparação, concluindo que o plano B exige menos material, e apresentou uma diferença de 18 m que não corresponde aos perímetros corretos de 40 m e 44 m.
Por que engana: Confundir a igualdade das áreas com igualdade dos perímetros.
O aluno provavelmente errou ao resolver a equação x(x + 4) = 96 ou ao calcular os perímetros, chegou a uma comparação invertida e a uma diferença de 2 m, que não corresponde à diferença real de 4 m.
Raio-X da questão
Fatoração de equação quadrática e cálculo de perímetro.
fixacao
Multiplicação de expressões algébricas. · Cálculo de área e perímetro de retângulos.
Equações do 2º grau por fatoração.
Confundir a igualdade das áreas com igualdade dos perímetros.
Arte e planejamento de materiais.
cotidiano
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