Um cinema independente estima o lucro por sessão, em reais, por meio do polinômio L(x) = -2x^2 + 120x - 1600…

Questão

Um cinema independente estima o lucro por sessão, em reais, por meio do polinômio L(x) = -2x^2 + 120x - 1600, em que x representa o preço, em reais, de cada ingresso. O modelo considera os custos da sessão e a variação esperada na procura conforme o preço muda. Com base no modelo, para quais preços de ingresso o cinema obtém lucro positivo por sessão?

1. A) Para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 60 por ingresso
2. B) Para preços acima de R$ 10 e abaixo de R$ 40 por ingresso
3. C) Para preços abaixo de R$ 20 ou acima de R$ 40 por ingresso
4. D) Para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 40 por ingresso
5. E) Para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 50 por ingresso

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Queremos L(x) > 0, ou seja, -2x^2 + 120x - 1600 > 0. Multiplicando por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade): 2x^2 - 120x + 1600 < 0. Dividindo por 2: x^2 - 60x + 800 < 0.
2. Encontrar as raízes de x^2 - 60x + 800 = 0. Soma das raízes = 60 e produto = 800. Os números são 20 e 40, pois 20 + 40 = 60 e 20 x 40 = 800. Logo as raízes são x = 20 e x = 40.
3. Como o coeficiente de x^2 é positivo na forma x^2 - 60x + 800, a parábola tem concavidade para cima e fica negativa entre as raízes. Portanto x^2 - 60x + 800 < 0 para 20 < x < 40.
4. Conclusão: o lucro é positivo para preços acima de R$ 20 e abaixo de R$ 40 por ingresso, que é exatamente a alternativa D.
5. Verificação das demais. A: o intervalo vai até R$ 60, mas em x = 50 o lucro é L(50) = -5000 + 6000 - 1600 = -600, negativo. B: começa em R$ 10, e em x = 15 o lucro é -450 + 1800 - 1600 = -250, negativo. C: inverte o intervalo; o lucro é negativo fora de (20, 40), e não positivo. E: vai até R$ 50, mas em x = 45 o lucro é -4050 + 5400 - 1600 = -250, negativo.

💡 Dica: Encontre as raízes de -2x²+120x-1600=0 e analise o sinal da parábola com concavidade para baixo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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