Em uma assembleia de moradores, cada participante se apresenta uma única vez a cada outro participante. Para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Em uma assembleia de moradores, cada participante se apresenta uma única vez a cada outro participante. Para estimar o total de apresentações entre pares, a comissão registra a relação entre o número de participantes, x, e o número de pares distintos, P(x), calculado por P(x) = x(x - 1)/2. | Participantes (x) | Pares distintos (P(x)) | |---|---| | 10 | 45 | | 12 | 66 | | 13 | 78 | | 14 | 91 | A comissão estima que, em uma próxima assembleia, haverá 78 pares distintos de apresentações. Com base na tabela e no modelo descrito, determine quantos participantes haverá na próxima assembleia. Apresente a equação do segundo grau que representa a situação, resolva-a e explique como o contexto permite decidir qual solução é válida.
- A) Igualando o modelo a 78, obtém-se x(x - 1)/2 = 78, ou seja, x^2 - x - 156 = 0. Fatorando, (x - 13)(x + 12) = 0, então x = 13 ou x = -12. Como o número de participantes não pode ser negativo, a solução válida é x = 13 participantes.
- B) Da relação entre participantes e pares, chega-se a x^2 - x - 240 = 0. Suas raízes são 16 e -15; como a quantidade de pessoas deve ser positiva, a solução válida é x = 16 participantes, associando 78 apresentações a 120 pares.
- C) A equação considerada é x^2 - x - 306 = 0, com raízes 18 e -17. Como a assembleia é formada por participantes, a solução válida é x = 18 participantes, tomando 153 como a quantidade de pares distintos.
- D) Considerando a relação dada, obtém-se x^2 - x - 272 = 0, cujas raízes são 17 e -16. Como o contexto representa pessoas, a solução válida é x = 17 participantes; o cálculo associa a estimativa a 136 pares distintos.
- E) Aplicando a expressão dos pares com o valor 190, forma-se x^2 - x - 380 = 0. As raízes são 20 e -19; como o total de participantes precisa ser positivo, conclui-se que haverá x = 20 participantes na próxima assembleia.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O modelo é P(x) = x(x - 1)/2, e a comissão estima 78 pares distintos. Igualando: x(x - 1)/2 = 78.
- Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: x(x - 1) = 156, ou seja, x^2 - x = 156, o que dá x^2 - x - 156 = 0.
- Fatorando, procuramos dois números cujo produto seja -156 e cuja soma seja -1. Esses números são -13 e +12, pois (-13)(12) = -156 e -13 + 12 = -1. Logo, (x - 13)(x + 12) = 0.
- As raízes são x = 13 e x = -12. Como x representa o número de participantes, não pode ser negativo; a solução válida é x = 13.
- Verificação: P(13) = 13 * 12 / 2 = 78, o que confirma a resposta. Também é coerente com a tabela, pois P(12) = 66 e P(14) = 91, e 78 está entre esses valores.
- Conferindo as alternativas: a alternativa B está errada porque 16 participantes gerariam 16 * 15 / 2 = 120 pares, não 78. A alternativa C está errada porque 18 participantes gerariam 153 pares. A alternativa D está errada porque 17 participantes gerariam 136 pares. A alternativa E está errada porque 20 participantes gerariam 190 pares, não 78.
- Conclusão: a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Iguale P(x) a 78, multiplique por 2 e fatore x^2 - x - 156 procurando dois números cujo produto seja -156 e a soma seja -1.
Alternativa por alternativa
O modelo conta cada par uma única vez. A equação resultante tem raízes 13 e -12, mas somente 13 representa uma quantidade possível de participantes; esse valor também corresponde à linha da tabela com 78 pares.
O aluno parece ter usado o valor 120 como se fosse 78 no lugar do número de pares, tratando 78 como se fosse 2 vezes 39 e montando a equação com termo independente errado (240 em vez de 156).
O aluno tomou 153 como quantidade de pares, provavelmente ao aplicar o modelo a x = 18 e confundindo o resultado com a estimativa de 78, ou montou a equação multiplicando incorretamente o termo constante.
Por que engana: Errar o sinal ou o produto ao montar x^2 - x - 2P e manter a raiz negativa como resposta válida.
O aluno trocou a estimativa de 78 pares por 136 pares, o que indica erro na montagem da equação (termo independente 272 em vez de 156), possivelmente por multiplicar 78 por 2 e depois por 2 novamente.
O aluno substituiu o valor 78 por 190 pares, um número que não aparece no enunciado, o que indica leitura incorreta dos dados ou erro de cópia dos valores do problema.
Raio-X da questão
Equação do segundo grau modelando contagem de pares
fixacao
Resolução de equações do segundo grau · Interpretação de tabelas e funções
Fatoração de trinômios do segundo grau
Errar o sinal ou o produto ao montar x^2 - x - 2P e manter a raiz negativa como resposta válida.
cotidiano
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