Você já pensou em quantas conexões podem surgir em uma rede social? Na plataforma PVConnect, cada par de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Você já pensou em quantas conexões podem surgir em uma rede social? Na plataforma PVConnect, cada par de usuários pode estabelecer uma amizade direta. No início do ano, PVConnect tinha 120 000 usuários; ao final, chegou a 180 000. Para planejar a infraestrutura, o time de dados precisa de um modelo que estime o número total de possíveis amizades em função do número de usuários n. Analise o texto e construa a expressão polinomial que calcula o número total de possíveis amizades em função de n.
- A) n*(n-1)/2
- B) n^2-n
- C) (n-1)*(n-2)/2
- D) n^2/2
- E) n*(n+1)/2
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o problema. Cada amizade liga exatamente dois usuários distintos, e a amizade entre A e B é a mesma que a amizade entre B e A. Logo, o que se conta são pares não ordenados de usuários, sem repetição. Os números 120 000 e 180 000 são apenas o contexto e não entram na fórmula geral, que depende só de n.
- Conte por etapas. Escolha o primeiro usuário do par: há n opções. Escolha o segundo usuário, diferente do primeiro: há n-1 opções. Isso dá n*(n-1) pares ordenados.
- Elimine a ordem. Como cada amizade foi contada duas vezes (uma como (A,B) e outra como (B,A)), divide-se por 2. O total de amizades possíveis é n*(n-1)/2, que é a combinação de n elementos tomados 2 a 2, expressa como polinômio: (n^2-n)/2 = 0,5n^2 - 0,5n.
- Confira com um exemplo pequeno. Com n = 4 usuários (A, B, C, D), as amizades possíveis são AB, AC, AD, BC, BD, CD, ou seja, 6. A fórmula dá 4*3/2 = 6. Está correto.
- Por que as outras estão erradas. B) n^2-n conta cada amizade duas vezes, pois não divide pela ordem. C) (n-1)*(n-2)/2 calcula as amizades entre n-1 usuários, deixando de fora as ligações de um deles. D) n^2/2 é apenas uma aproximação: inclui pares de um usuário consigo mesmo e pares repetidos. E) n*(n+1)/2 é a soma de 1 até n, que não representa pares de usuários distintos.
- Conclusão: o gabarito oficial A está correto.
💡 Dica: Use a fórmula de combinação para pares de usuários.
Alternativa por alternativa
Correto, cada amizade é um par de usuários distinto, totalizando n(n-1)/2 conexões possíveis.
O aluno conta pares ordenados, multiplicando n por (n-1) e esquecendo de dividir por 2, como se amizade de A com B e de B com A fossem duas amizades diferentes.
Por que engana: Confundir permutação com combinação ou esquecer dividir por 2 para pares únicos.
O aluno aplica uma fórmula de pares entre n-1 usuários, como se um dos usuários ficasse de fora ou já tivesse sido contado, o que subtrai ligações válidas.
O aluno usa a ideia de metade do quadrado de n, tratando o cálculo como aproximação e ignorando que um usuário não pode ser amigo de si mesmo e que pares repetidos devem ser descontados.
O aluno confunde a contagem de pares com a soma dos n primeiros números naturais (1+2+...+n), que tem a forma n*(n+1)/2, e assim inclui a possibilidade de um usuário ser amigo de si mesmo.
Raio-X da questão
combinação de pares em rede
avaliacao
combinação simples · expressões algébricas
Estude combinações e cálculo de pares em conjuntos.
Confundir permutação com combinação ou esquecer dividir por 2 para pares únicos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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