Em uma praça de pedágio, a tarifa é de R$ 10 por veículo e passam, em média, 800 veículos por hora. Um estudo…

Questão

Em uma praça de pedágio, a tarifa é de R$ 10 por veículo e passam, em média, 800 veículos por hora. Um estudo estima que, para cada real acrescentado à tarifa, o fluxo diminui em 40 veículos por hora. A administração quer saber quais aumentos fariam a arrecadação horária chegar a R$ 8.400. Se x representa o aumento da tarifa, a arrecadação após a mudança é dada pelo produto da nova tarifa pelo novo fluxo. Com base nos dados, quais valores de x fazem a arrecadação atingir R$ 8.400 por hora, e por que ambos são viáveis no contexto?

1. A) Os aumentos são x = R$ 0,00 e x = R$ 10,00; ambos mantêm o fluxo positivo e elevam a arrecadação para R$ 8.000 por hora, considerando a meta como R$ 8.000.
2. B) Os aumentos são x = R$ 0,53 e x = R$ 9,47; ambos mantêm o fluxo positivo e elevam a arrecadação para R$ 8.200 por hora, considerando a meta como R$ 8.200.
3. C) Os aumentos são x = 5 - raiz quadrada de 15 e x = 5 + raiz quadrada de 15 reais, aproximadamente R$ 1,13 e R$ 8,87; ambos mantêm o fluxo positivo e elevam a arrecadação para R$ 8.400 por hora.
4. D) Os aumentos são x = R$ 2,76 e x = R$ 7,24; ambos mantêm o fluxo positivo e elevam a arrecadação para R$ 8.800 por hora, considerando a meta como R$ 8.800.
5. E) Os aumentos são x = R$ 0,26 e x = R$ 9,74; ambos mantêm o fluxo positivo e elevam a arrecadação para R$ 8.400 por hora, usando a fórmula quadrática para encontrar as raízes.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Defina a nova tarifa como (10 + x) e o novo fluxo como (800 - 40x), com x em reais.
2. A arrecadação horária é o produto: (10 + x)(800 - 40x) = 8000 - 400x + 800x - 40x^2 = 8000 + 400x - 40x^2.
3. Iguale a arrecadação a 8400: 8000 + 400x - 40x^2 = 8400, o que resulta em -40x^2 + 400x - 400 = 0.
4. Divida toda a equação por -40: x^2 - 10x + 10 = 0.
5. Aplique a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = -10 e c = 10: delta = 100 - 40 = 60, logo x = (10 ± raiz de 60)/2 = 5 ± raiz de 15.
6. Como raiz de 15 é aproximadamente 3,87, obtemos x de aproximadamente 1,13 e x de aproximadamente 8,87. Ambos são positivos e menores que 20, que é o aumento que anula o fluxo, então o fluxo continua positivo (800 - 40x > 0), e a tarifa resultante fica entre R$ 11,13 e R$ 18,87, valores viáveis.
7. Verificação para x de aproximadamente 1,13: (11,13)(800 - 45,2) = 11,13 x 754,8 de aproximadamente 8400. Confere.
8. Por que as outras estão erradas: A assume arrecadação de 8000, que é a receita atual e não a meta; B usa meta de 8200, valor que não é o pedido; D usa meta de 8800, valor que não é o pedido; E afirma meta de 8400 corretamente, mas as raízes 0,26 e 9,74 não satisfazem a equação, pois a conta de x = 0,26 dá arrecadação de aproximadamente 8.101.
9. Conclusão: a alternativa correta é a C, e o gabarito oficial está correto.

💡 Dica: Monte R(x)=(10+x)(800-40x), iguale a 8400 e resolva a equação do segundo grau.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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