Uma barbearia está avaliando uma campanha que pode atrair clientes adicionais por semana. Seja x o número de…

Questão

Uma barbearia está avaliando uma campanha que pode atrair clientes adicionais por semana. Seja x o número de clientes adicionais e P(x) a variação semanal do resultado financeiro, em centenas de reais, em relação ao período sem campanha. A equipe modela essa variação por uma função quadrática. Os registros usados na análise são: | x (clientes adicionais) | P(x) (centenas de reais) | |---|---| | 0 | -40 | | 4 | 0 | | 7 | 9 | | 10 | 0 | | 12 | -16 | Com base na tabela, determine a expressão quadrática que representa P(x) e resolva P(x) = 0. Em seguida, interprete as raízes e indique para quais quantidades inteiras de clientes adicionais a campanha aumenta o resultado financeiro semanal.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como P(4) = 0 e P(10) = 0, a função pode ser escrita como P(x) = a(x - 4)(x - 10). Usando o dado P(0) = -40, obtemos -40a = -40, portanto a = 1. Assim, P(x) = (x - 4)(x - 10) = x^2 - 14x + 40. A equação P(x) = 0 tem raízes x = 4 e x = 10, que representam os pontos de equilíbrio da campanha: nesses casos, a variação financeira é nula. Como a parábola tem concavidade voltada para cima, P(x) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. No contexto, a campanha aumenta o resultado para menos de 4 ou mais de 10 clientes adicionais; considerando que x não pode ser negativo e é inteiro, isso ocorre com 0, 1, 2, 3 ou com 11 clientes adicionais ou mais.

Explicação

Os valores nulos da tabela fornecem as raízes 4 e 10. O dado P(0) = -40 determina o coeficiente principal, resultando em P(x) = x^2 - 14x + 40, expressão que também reproduz os demais valores apresentados. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a função é positiva fora do intervalo entre as raízes. No contexto, só são possíveis quantidades inteiras não negativas de clientes.

Raio-X da questão

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