Em uma geleira, uma equipe acompanha o recuo de uma borda de gelo. Para planejar a instalação de sensores, ela…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Em uma geleira, uma equipe acompanha o recuo de uma borda de gelo. Para planejar a instalação de sensores, ela adota o modelo R(t) = at^2 + bt, em que t é o número de semanas desde o início do acompanhamento e R(t) é o recuo acumulado, em metros. As observações registraram recuo de 6 m após 2 semanas e de 30 m após 5 semanas. O modelo será usado apenas para t >= 0. Com base nas observações e no modelo adotado, em quantas semanas o recuo acumulado atingirá 56 m?
- A) 9 semanas
- B) 11 semanas
- C) 7 semanas
- D) 10 semanas
- E) 8 semanas
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Montar o sistema com as observações. Para t = 2, R = 6: 4a + 2b = 6, ou seja, 2a + b = 3. Para t = 5, R = 30: 25a + 5b = 30, ou seja, 5a + b = 6.
- Resolver o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda: 3a = 3, logo a = 1. Substituindo em 2a + b = 3: b = 1. Assim, o modelo é R(t) = t^2 + t.
- Impor R(t) = 56. Temos t^2 + t - 56 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, delta = 1 + 224 = 225, raiz de 225 = 15, logo t = (-1 ± 15)/2. As raízes são t = 7 e t = -8.
- Aplicar a restrição t >= 0. A raiz t = -8 é descartada, restando t = 7 semanas.
- Verificação: R(7) = 49 + 7 = 56 m, confirmando o resultado.
- Análise das alternativas erradas. A (9 semanas) daria R(9) = 90, valor muito acima de 56. B (11 semanas) daria R(11) = 132. D (10 semanas) daria R(10) = 110. E (8 semanas) daria R(8) = 72, já acima de 56. Somente C satisfaz a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou na determinação dos coeficientes ou na resolução da equação quadrática, chegando a uma raiz próxima de 9 sem verificar a substituição no modelo.
O aluno pode ter cometido erro de cálculo ao resolver t^2 + t - 56 = 0, obtendo uma raiz incorreta, ou ter estimado o tempo sem substituir no modelo.
Substituindo as observações, obtêm-se 4a + 2b = 6 e 25a + 5b = 30, cuja solução é a = 1 e b = 1. Assim, R(t) = t^2 + t. Ao resolver t^2 + t = 56, as raízes são 7 e -8; como o tempo deve ser não negativo, considera-se 7 semanas.
O aluno pode ter arredondado ou chutado a resposta a partir da ordem de grandeza das observações, sem resolver a equação do segundo grau.
O aluno pode ter interpretado mal a raiz da equação ou errado no sinal do termo independente, obtendo 8 em vez de 7 semanas.
Raio-X da questão
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