Uma cooperativa de reciclagem testa um equipamento que lança pequenos fardos para uma esteira elevada. A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de reciclagem testa um equipamento que lança pequenos fardos para uma esteira elevada. A altura h, em metros, de um fardo t segundos após o lançamento é modelada por h(t) = -2t^2 + 12t + 1, para 0 <= t <= 6. A equipe quer saber quando o fardo passa pela altura de 17 metros. Com base no modelo, em quais instantes o fardo passa pela altura de 17 metros?
- A) Em 2 segundos.
- B) Em 4 segundos e em 6 segundos.
- C) Em 1 segundo e em 5 segundos.
- D) Em 2 segundos e em 4 segundos.
- E) Em 3 segundos.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Igualar a função à altura pedida: -2t^2 + 12t + 1 = 17.
- Passar tudo para um lado: -2t^2 + 12t - 16 = 0.
- Dividir a equação por -2 para simplificar: t^2 - 6t + 8 = 0.
- Fatorar: (t - 2)(t - 4) = 0, logo t = 2 ou t = 4. Também é possível usar Bhaskara, com delta = 36 - 32 = 4, e chegar às mesmas raízes.
- Verificar o domínio 0 <= t <= 6. Os dois valores pertencem ao intervalo.
- Conferir substituindo na função. Para t = 2: -8 + 24 + 1 = 17. Para t = 4: -32 + 48 + 1 = 17. Ambos estão corretos.
- Conclusão: o fardo passa pela altura de 17 metros em 2 segundos (subindo) e em 4 segundos (descendo). Isso é coerente com a simetria da parábola em torno do vértice t = 3.
- Por que as outras estão erradas: A tem apenas um dos dois instantes. B inclui t = 6, mas h(6) = 1 metro. C inclui t = 1 e t = 5, mas h(1) = h(5) = 11 metros. E apresenta o instante do vértice, t = 3, em que a altura é 19 metros, que é o máximo e não 17.
- O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Iguale h(t) a 17, resolva a equação e confira se as soluções estão entre 0 e 6.
Alternativa por alternativa
Encontrou apenas uma das raízes da equação do segundo grau e parou, sem considerar que a parábola atinge a altura 17 duas vezes, na subida e na descida.
Escolheu pares de instantes sem substituir na função, possivelmente errando o sinal ou a fatoração da equação. O instante 6 segundos leva a altura de 1 metro, não 17.
Assumiu que os instantes deveriam ter soma 6, por simetria, sem verificar a equação. Os valores 1 e 5 geram altura de 11 metros, não 17.
Igualando a altura a 17, obtém-se -2t^2 + 12t + 1 = 17, ou t^2 - 6t + 8 = 0. A fatoração (t - 2)(t - 4) = 0 fornece os instantes 2 e 4, ambos no intervalo indicado.
Associou a altura de 17 metros ao instante do vértice, o tempo em que o fardo atinge a altura máxima. Na verdade, t = 3 corresponde a 19 metros.
Por que engana: Igualar a expressão a zero sem antes subtrair 17, ou aceitar soluções fora do domínio.
Raio-X da questão
Equação quadrática associada a uma função.
Determinar quando um
Manipulação de expressões algébricas. · Resolução de equações do segundo grau.
Raízes de equações do segundo grau.
Igualar a expressão a zero sem antes subtrair 17, ou aceitar soluções fora do domínio.
Sustentabilidade e reciclagem.
Lançamento de fardo
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