No século XVI, divertidos duelos intelectuais entre professores das academias contribuíram para o avanço da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No século XVI, divertidos duelos intelectuais entre professores das academias contribuíram para o avanço da Matemática. Motivado por um desses duelos, o matemático italiano Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encontrou uma fórmula para resolver equações polinomiais de terceiro grau. No entanto, os outros matemáticos da época não tinham acesso a tal descoberta, tendo que encontrar formas alternativas para resolver aqueles problemas. Uma dessas formas alternativas é a fatoração, que facilita a observação das raízes (soluções), pois transforma a adição dos termos da equação em uma multiplicação igualada a zero. Veja o exemplo. x³ + 6x² + 5x – 12 = 0 ? (x – 1) · (x + 3) · (x + 4) = 0 Analisando o exemplo dado, é correto afirmar que essa equação (ETEC 2017)
- A) possui três raízes naturais distintas.
- B) possui três raízes inteiras distintas.
- C) possui duas raízes naturais distintas e uma raiz irracional.
- D) possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz inteira.
- E) não possui raízes reais.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A equacao esta na forma fatorada (x - 1)(x + 3)(x + 4) = 0. Pela lei do anulamento do produto, o produto e zero quando algum dos fatores e zero.
- Resolvendo cada fator: x - 1 = 0 gives x = 1; x + 3 = 0 gives x = -3; x + 4 = 0 gives x = -4. Assim, as raizes sao 1, -3 e -4, todas distintas.
- Classificacao: 1 e natural e inteiro; -3 e -4 sao inteiros negativos, portanto inteiros e racionais. Logo a equacao possui tres raizes inteiras distintas, o que corresponde a alternativa B.
- A alternativa A esta errada porque apenas uma raiz (1) e natural. A alternativa C esta errada porque nao ha raiz irracional. A alternativa D esta errada pelo mesmo motivo, pois nao existem raizes irracionais e todas sao inteiras. A alternativa E esta errada porque ha tres raizes reais.
💡 Dica: Iguale cada fator linear a zero e classifique as raizes obtidas nos conjuntos numericos.
Alternativa por alternativa
O aluno achou as raizes corretas, mas considerou -3 e -4 como naturais, ou nao aplicou a definicao de numero natural (nao negativo).
Por que engana: Trocar o sinal da raiz ao resolver (x + 3) = 0, obtendo x = 3, e concluir que ha raiz natural a mais.
CORRETA. Igualando cada fator a zero, obtemos x = 1, x = -3 e x = -4. As tres raizes sao distintas e inteiras, como afirma a alternativa.
O aluno supoe que, por ser uma equacao de terceiro grau, deve haver raiz irracional, sem verificar os fatores lineares.
O aluno confunde raizes irracionais com raizes negativas e acredita que valores negativos sao irracionais.
O aluno acredita que equacoes de grau 3 com coeficientes reais nao possuem raizes reais, confundindo com raizes complexas.
Raio-X da questão
Raizes de polinomio a partir da forma fatorada
avaliacao
Resolucao de equacao do primeiro grau · Produto igual a zero (lei do anulamento)
Conjuntos numericos (naturais, inteiros, racionais, irracionais)
Trocar o sinal da raiz ao resolver (x + 3) = 0, obtendo x = 3, e concluir que ha raiz natural a mais.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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