MatemáticaUFPRBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Durante a mixagem de uma música, dois técnicos ajustam o nível indicado por seus consoles ao longo do tempo…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Durante a mixagem de uma música, dois técnicos ajustam o nível indicado por seus consoles ao longo do tempo. No console A, o indicador marca 31 unidades após 2 minutos e 55 unidades após 8 minutos de ajuste. No console B, marca 53 unidades após 1 minuto e 35 unidades após 7 minutos. Em ambos os casos, suponha que o indicador varie linearmente com o tempo, contado desde o início do ajuste. Determine em que instante os dois indicadores marcam o mesmo nível e, aos 5 minutos, qual console indica o nível maior e qual é a diferença entre as indicações. Apresente os modelos lineares e os cálculos que sustentam a comparação.

A) No console A, o modelo é A(t) = 23 + 4t. No console B, o indicador cresce 3 unidades por minuto e o modelo é B(t) = 50 + 3t. Os modelos se igualam em 27 minutos. Aos 5 minutos, A indica 43 e B indica 65; portanto, B indica um nível 22 unidades maior.
B) No console A, o indicador cresce 4 unidades por minuto, pois (55 - 31)/(8 - 2) = 4; como aos 2 minutos marca 31, o modelo é A(t) = 23 + 4t. No console B, diminui 3 unidades por minuto, pois (35 - 53)/(7 - 1) = -3; como aos 1 minuto marca 53, o modelo é B(t) = 56 - 3t. Igualando os modelos, 23 + 4t = 56 - 3t, então t = 33/7 minutos, aproximadamente 4,71 minutos. Aos 5 minutos, A(5) = 43 e B(5) = 41; portanto, o console A indica um nível 2 unidades maior.
C) No console A, o indicador cresce 4 unidades por minuto e o modelo é A(t) = 31 + 4t. No console B, diminui 3 unidades por minuto e o modelo é B(t) = 53 - 3t. Os modelos se igualam em 22/7 minutos. Aos 5 minutos, A indica 51 e B indica 38; portanto, A indica um nível 13 unidades maior.
D) No console A, o indicador cresce 4 unidades por minuto e o modelo é A(t) = 24 + 4t. No console B, diminui 3 unidades por minuto e o modelo é B(t) = 56 - 3t. Os modelos se igualam em 32/7 minutos. Aos 5 minutos, A indica 44 e B indica 41; portanto, A indica um nível 3 unidades maior.
E) No console A, o indicador cresce 4 unidades por minuto e o modelo é A(t) = 23 + 4t. No console B, diminui 3 unidades por minuto e o modelo é B(t) = 50 - 3t. Os modelos se igualam em 26/7 minutos. Aos 5 minutos, A indica 43 e B indica 35; portanto, A indica um nível 8 unidades maior.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Console A. Taxa = (55 - 31)/(8 - 2) = 24/6 = 4 unidades por minuto. Como em t = 2 minutos o indicador marca 31, o modelo é A(t) = 31 + 4(t - 2) = 23 + 4t. Passo 2: Console B. Taxa = (35 - 53)/(7 - 1) = -18/6 = -3 unidades por minuto, ou seja, o nível cai. Como em t = 1 minuto marca 53, o modelo é B(t) = 53 - 3(t - 1) = 56 - 3t. Passo 3: Igualando os modelos, 23 + 4t = 56 - 3t, logo 7t = 33 e t = 33/7, aproximadamente 4,71 minutos. Passo 4: Em t = 5 minutos, A(5) = 23 + 20 = 43 e B(5) = 56 - 15 = 41. Assim, o console A indica um nível 2 unidades maior. Passo 5: Conclusão. O gabarito B está correto, pois os modelos, o instante de igualdade e a diferença de 2 unidades conferem. Alternativa A: está errada porque trata o console B como crescente (3 unidades por minuto) e usa um intercepto de 50 sem base nos dados. Alternativa C: está errada porque usa os valores iniciais 31 e 53 como intercepto, ignorando a defasagem de 2 e 1 minuto. Alternativa D: está errada porque o intercepto de A deveria ser 23, e não 24. Alternativa E: está errada porque o intercepto de B deveria ser 56, e a igualdade 23 + 4t = 50 - 3t dá 27/7, não 26/7.

💡 Dica: Calcule a taxa de variação em cada console, determine os interceptos e compare as funções nos instantes pedidos.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Interpretação

Ignorou o sinal negativo da variação do console B, lendo a queda de 53 para 35 como crescimento de 3 unidades por minuto, e fixou um intercepto de 50 sem base nos dados.

B Correta

As variações entre as medições determinam as taxas constantes dos modelos lineares. Igualá-los fornece o instante de coincidência; substituindo t = 5 nos dois modelos, obtêm-se 43 e 41, respectivamente.

C Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Usou diretamente os valores lidos (31 e 53) como intercepto dos modelos, esquecendo que as medições ocorrem em t = 2 e t = 1 minuto, e não em t = 0.

Por que engana: Usar o valor inicial observado como intercepto sem descontar a variação acumulada até aquele instante.

D Erradaerro: Procedimental

Calculou mal o intercepto do console A, obtendo 31 - 8 = 23 ou 24 de forma incorreta; o correto é 31 - 4·2 = 23, e o aluno escreveu 24 ao descontar os 2 minutos.

E Erradaerro: Procedimental

Escreveu o modelo de B como 50 - 3t, subtraindo 3 de 53 em vez de considerar 53 em t = 1, e ainda errou a resolução da igualdade, obtendo 26/7 em vez de 27/7.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

Funções afins e sistemas de equações lineares

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Taxa de variação entre dois pontos · Resolução de equações lineares

📚 Reveja

Modelagem linear a partir de pontos

⚠️ Erro mais comum

Usar o valor inicial observado como intercepto sem descontar a variação acumulada até aquele instante.

🏫 Contexto

cotidiano

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