Em um gráfico, o eixo horizontal indica o tempo, em horas, e o vertical indica a altura da água, em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um gráfico, o eixo horizontal indica o tempo, em horas, e o vertical indica a altura da água, em centímetros, em dois reservatórios. A reta do reservatório A passa pelos pontos (0, 7) e (4, 19); a do reservatório B passa por (0, 31) e (4, 19). Com base no gráfico descrito, em quantas horas os dois reservatórios terão a mesma altura?
- A) Após 2 horas, ambos terão 13 cm de água.
- B) Após 3 horas, ambos terão 16 cm de água.
- C) Após 6 horas, ambos terão 25 cm de água.
- D) Após 3,5 horas, ambos terão 17,5 cm de água.
- E) Após 4 horas, ambos terão 19 cm de água.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Encontre a lei da reta do reservatório A. Ela passa por (0, 7) e (4, 19), então a inclinação é (19 - 7) / (4 - 0) = 3 cm por hora. Como a altura inicial é 7, a altura de A no tempo t é h_A = 3t + 7.
- Encontre a lei da reta do reservatório B. Ela passa por (0, 31) e (4, 19), então a inclinação é (19 - 31) / (4 - 0) = -3 cm por hora. Como a altura inicial é 31, a altura de B no tempo t é h_B = -3t + 31. O sinal negativo indica que B está esvaziando.
- Os reservatórios têm a mesma altura quando h_A = h_B, ou seja, 3t + 7 = -3t + 31. Somando 3t dos dois lados: 6t + 7 = 31. Subtraindo 7: 6t = 24. Logo t = 4 horas.
- Verifique a altura nesse instante. Em t = 4, h_A = 3(4) + 7 = 19 cm e h_B = -3(4) + 31 = 19 cm. Os dois coincidem em 19 cm, o que confirma a alternativa E, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A dá 13 cm de A em t = 2, mas B nesse instante tem 25 cm, então não há igualdade. A alternativa B dá 16 cm em t = 3, mas B tem 22 cm nesse instante. A alternativa C dá 25 cm em t = 6, mas B já está em 13 cm. A alternativa D dá 17,5 cm em t = 3,5, mas B está em 20,5 cm nesse instante.
💡 Dica: Observe que ambas as retas passam pelo ponto (4, 19).
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a média entre 7 e 19 (que é 13) e a associou ao instante de encontro, sem verificar a altura de B no tempo 2. Não percebeu que a altura de B ainda está bem acima disso.
O aluno calculou corretamente a altura de A em t = 3 (16 cm), mas supôs que B também chegaria a 16 cm nesse instante. Não aplicou a taxa de queda de B de 3 cm por hora a partir de 31 cm.
Por que engana: Escolher um tempo ou uma altura de uma das retas sem verificar se o mesmo ponto pertence às duas.
O aluno prolongou a reta de A e obteve 25 cm em t = 6, mas ignorou que B decresce com o tempo e assumiu que B também estaria em 25 cm. Não entendeu que a reta de B tem inclinação negativa.
O aluno calculou a altura de A em t = 3,5 (17,5 cm) e assumiu que B também estaria nessa altura, sem calcular a altura real de B nesse instante, que é 20,5 cm. Confundiu o ponto de encontro com um valor qualquer da reta de A.
A reta A representa y = 3x + 7, e a reta B representa y = -3x + 31. Igualando as alturas, 3x + 7 = -3x + 31, obtém-se x = 4; substituindo, a altura comum é 19 cm.
Raio-X da questão
Interseção de retas como solução comum de duas relações lineares.
Identificar quando d
Leitura de pares ordenados no plano cartesiano. · Reconhecimento de pontos pertencentes a uma reta.
Equação linear de primeiro grau com duas incógnitas e representação no plano cartesiano.
Escolher um tempo ou uma altura de uma das retas sem verificar se o mesmo ponto pertence às duas.
Comparação da altura
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