Uma cooperativa de energia solar utiliza um simulador para estimar o lucro diário L, em reais, obtido com x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de energia solar utiliza um simulador para estimar o lucro diário L, em reais, obtido com x ajustes técnicos em um lote de painéis. Para esse lote, considerando os valores de x entre 0 e 6, o simulador representa a situação pela função quadrática L(x) = 1000x² - 6000x + 8000. Quando L(x) = 0, não há lucro nem prejuízo no dia. Com base no modelo apresentado, em quais valores de x o lucro diário é nulo?
- A) x = 2 e x = 6
- B) x = 3 e x = 4
- C) x = 1 e x = 5
- D) x = 0 e x = 4
- E) x = 2 e x = 4
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Lucro nulo significa L(x) = 0, então devemos resolver 1000x² - 6000x + 8000 = 0. Passo 2: Como todos os coeficientes são múltiplos de 1000, divida a equação inteira por 1000 para simplificar: x² - 6x + 8 = 0. Passo 3: Fatore procurando dois números cuja soma seja 6 (coeficiente de x, com sinal trocado) e cujo produto seja 8 (termo independente). Esses números são 2 e 4, pois 2 + 4 = 6 e 2 × 4 = 8. Passo 4: Escreva a forma fatorada (x - 2)(x - 4) = 0. Passo 5: Um produto é zero quando um dos fatores é zero, logo x - 2 = 0 ou x - 4 = 0, ou seja, x = 2 ou x = 4. Passo 6: Conferência: para x = 2, 1000·4 - 6000·2 + 8000 = 4000 - 12000 + 8000 = 0; para x = 4, 1000·16 - 6000·4 + 8000 = 16000 - 24000 + 8000 = 0. Passo 7: Por que as outras estão erradas: na alternativa A, o x = 6 não zera a função, pois 36000 - 36000 + 8000 = 8000; na alternativa B, a soma 3 + 4 = 7 não corresponde ao coeficiente 6; na alternativa C, 1 e 5 somam 6, mas o produto é 5, não 8, e L(1) = 3000 é diferente de zero; na alternativa D, o x = 0 daria L(0) = 8000, que não é zero. Portanto, o lucro diário é nulo para x = 2 e x = 4, alternativa E.
💡 Dica: Iguale a função a zero e determine as raízes da equação quadrática.
Alternativa por alternativa
O aluno acertou o x = 2, mas tomou o coeficiente -6 do termo em x como se fosse uma raiz, ou seja, assumiu que x = 6 também anula a função sem substituir.
Por que engana: O aluno pode errar a fatoração ou confundir os sinais dos termos, encontrando valores que não anulam a função.
O aluno errou a soma das raízes ao fatorar, obtendo 3 e 4 (soma 7) em vez de somar 6, e não verificou a substituição na função.
O aluno calculou corretamente a soma 1 + 5 = 6, mas errou o produto, que deveria ser 8 e não 5, e não conferiu substituindo x na função.
O aluno considerou x = 0 como raiz, provavelmente por intuição de que sem ajustes não há lucro, e errou o segundo valor ao ignorar o termo independente 8000.
Para encontrar os valores em que o lucro é nulo, igualamos a função a zero: 1000x² - 6000x + 8000 = 0. Dividindo por 1000, obtemos x² - 6x + 8 = 0, que se fatora como (x - 2)(x - 4) = 0. Portanto, x = 2 ou x = 4.
Raio-X da questão
Raízes de função quadrática
avaliacao
Resolução de equações quadráticas · Interpretação de função quadrática
Revise a fatoração de trinômios quadráticos e a interpretação das raízes como zeros da função.
O aluno pode errar a fatoração ou confundir os sinais dos termos, encontrando valores que não anulam a função.
economia_financeira
tomada_decisao
cotidiano
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