Em uma instalação artística circular, duas cordas se cruzam no interior de um painel, formando um ângulo. Os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação artística circular, duas cordas se cruzam no interior de um painel, formando um ângulo. Os arcos interceptados por esse ângulo e por seu ângulo oposto medem, inicialmente, 86 graus e 54 graus. Durante um ajuste do painel, um dos pontos de apoio é deslocado, aumentando em 20 graus a medida do primeiro arco, enquanto a medida do segundo arco permanece inalterada. Para cordas que se cruzam no interior de uma circunferência, a medida de um dos ângulos formados é igual à metade da soma das medidas dos arcos interceptados por esse ângulo e por seu oposto. Com base na relação descrita, qual será a medida do ângulo após o ajuste e quanto ela terá aumentado em relação à medida inicial?
- A) O ângulo passará de 140 graus para 160 graus, aumentando 20 graus.
- B) O ângulo passará de 16 graus para 36 graus, aumentando 20 graus.
- C) O ângulo passará de 43 graus para 53 graus, aumentando 10 graus.
- D) O ângulo passará de 70 graus para 80 graus, aumentando 10 graus.
- E) O ângulo passará de 35 graus para 40 graus, aumentando 5 graus.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. Arco interceptado pelo ângulo inicial: 86 graus. Arco oposto (interceptado pelo ângulo oposto): 54 graus. Após o ajuste, o primeiro arco aumenta 20 graus, passando a 106 graus, e o segundo permanece em 54 graus.
- Calcule o ângulo inicial pela relação dada, que é a metade da soma dos dois arcos interceptados. Soma: 86 + 54 = 140. Metade: 140 / 2 = 70 graus.
- Calcule o ângulo após o ajuste. Soma dos novos arcos: 106 + 54 = 160. Metade: 160 / 2 = 80 graus.
- Calcule o aumento. 80 - 70 = 10 graus. Conferindo pela lógica da relação: o aumento do arco em 20 graus faz o ângulo aumentar a metade disso, ou seja, 10 graus.
- Compare com o gabarito oficial. O resultado obtido (70 graus passando para 80 graus, com aumento de 10 graus) coincide com a alternativa D, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A: usa a soma dos arcos (140 e 160) sem dividir por 2. B: subtrai os arcos em vez de somá-los no cálculo inicial. C: usa apenas o primeiro arco dividido por 2 (43 e 53), ignorando o arco oposto. E: divide o ângulo já calculado por 2 uma segunda vez (35 e 40).
💡 Dica: Some os arcos interceptados e divida por dois, tanto antes quanto depois do ajuste.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou a soma dos arcos (86 + 54 = 140 e 106 + 54 = 160) e esqueceu de tirar a metade, tratando a soma como se fosse o ângulo.
O aluno subtraiu os arcos (86 - 54 = 32, metade igual a 16) em vez de somá-los, ignorando que a relação pede a soma dos arcos interceptados pelo ângulo e por seu oposto.
O aluno considerou apenas o primeiro arco, dividindo 86 por 2 (43) e 106 por 2 (53), e ignorou o arco oposto de 54 graus, que também faz parte da relação.
Por que engana: Somar os arcos sem dividir por dois ou calcular apenas o ângulo final, ignorando o aumento.
Inicialmente, o ângulo mede (86 + 54)/2 = 70 graus. Após o ajuste, os arcos medem 106 e 54 graus, então o ângulo passa a medir (106 + 54)/2 = 80 graus; portanto, aumenta 10 graus.
O aluno aplicou a metade duas vezes, dividindo 70 por 2 (35) e 80 por 2 (40), como se a fórmula exigisse uma segunda divisão sobre o resultado já obtido.
Raio-X da questão
Ângulo formado por cordas que se cruzam no interior da circunferência.
fixacao
Soma e divisão de medidas angulares. · Identificação dos arcos interceptados por ângulos opostos.
Relação entre ângulos internos e arcos interceptados.
Somar os arcos sem dividir por dois ou calcular apenas o ângulo final, ignorando o aumento.
abstrato
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