Em uma instalação artística circular, dois pontos P e Q delimitam um arco menor. O ângulo central POQ mede (5x…

Questão

Em uma instalação artística circular, dois pontos P e Q delimitam um arco menor. O ângulo central POQ mede (5x - 7) graus, e o ângulo inscrito PRQ mede (2x + 11) graus, com R situado no arco maior PQ. Uma visitante afirma que, se S estiver no arco menor PQ, o ângulo inscrito PSQ também medirá 69 graus, pois subtende os mesmos pontos P e Q. A afirmação da visitante está correta? Analise as relações entre os ângulos e os arcos correspondentes e indique o valor correto de PSQ.

1. A) A afirmação está incorreta: x = 6, o ângulo central mede 23 graus e PRQ mede 23 graus. Como S está no arco menor PQ, PSQ subtende o arco maior PQ, de 337 graus, e mede 168,5 graus.
2. B) A afirmação está incorreta: x = 29, o ângulo central mede 138 graus e PRQ mede 69 graus. Como S está no arco menor PQ, PSQ subtende o arco maior PQ, de 222 graus, e mede 111 graus.
3. C) A afirmação está incorreta: x = 29, o ângulo central mede 138 graus e o arco maior PQ mede 222 graus. Como PSQ subtende esse arco, PSQ mede 222 graus.
4. D) A afirmação está correta: x = 29, o ângulo central mede 138 graus e PRQ mede 69 graus. Como os dois ângulos inscritos subtendem os mesmos pontos P e Q, PSQ também mede 69 graus.
5. E) A afirmação está incorreta: x = 29, o ângulo central mede 138 graus e PRQ mede 69 graus. Considerando o arco correspondente a PSQ como tendo 291 graus, PSQ mede 145,5 graus.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. O ângulo inscrito PRQ, com R no arco maior, subtende o arco menor PQ, então PRQ vale metade do ângulo central POQ. Logo, 2(2x + 11) = 5x - 7, ou seja, 4x + 22 = 5x - 7, o que dá x = 29. Passo 2: Com x = 29, o ângulo central POQ = 5 . 29 - 7 = 138 graus, e o inscrito PRQ = 2 . 29 + 11 = 69 graus, o que confere com a metade. Passo 3: O arco menor PQ mede 138 graus, então o arco maior PQ mede 360 - 138 = 222 graus. Passo 4: A visitante errou ao supor que todo ângulo inscrito que enxerga P e Q mede 69 graus. Quando R está no arco maior, o ângulo vale metade do arco menor (69 graus). Quando S está no arco menor, o ângulo enxerga o arco maior, então PSQ = 222 / 2 = 111 graus. Passo 5: Portanto, a afirmação está incorreta e PSQ = 111 graus, o que confirma o gabarito B. Por que as outras estão erradas: A calcula x = 6 igualando o inscrito ao central sem o fator 2, e também erra o arco maior; C confunde o ângulo inscrito com o próprio arco, pois um inscrito mede metade do arco; D ignora que a posição do ponto no arco muda o ângulo; E usa 360 - 69 = 291 como arco, quando o ângulo inscrito não é o arco.

💡 Dica: Iguale o ângulo central a duas vezes o inscrito e identifique qual arco PSQ intercepta.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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