Matemática9º anoBNCC EF09MA11Difícil⏱ medio

Em uma praça, uma fonte circular está sendo mapeada para a instalação de luminárias. Dois pontos P e Q, na…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA11

Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em uma praça, uma fonte circular está sendo mapeada para a instalação de luminárias. Dois pontos P e Q, na borda da fonte, delimitam o trecho iluminado. O levantamento registra que o ângulo central POQ mede (4x - 12) graus. Um sensor instalado em outro ponto R da borda mede o ângulo inscrito PRQ como (x + 24) graus; ambos os ângulos interceptam o mesmo arco menor PQ. Monte a relação entre as medidas dos ângulos central e inscrito e determine o valor de x, a medida do arco menor PQ e as medidas dos dois ângulos. Apresente os cálculos e explique por que a relação usada é válida.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como os dois ângulos interceptam o mesmo arco PQ, o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito: 4x - 12 = 2(x + 24). Assim, 4x - 12 = 2x + 48, 2x = 60 e x = 30. O ângulo central POQ mede 4(30) - 12 = 108 graus, e o ângulo inscrito PRQ mede 30 + 24 = 54 graus. Como a medida do arco menor PQ é igual à do ângulo central correspondente, o arco PQ mede 108 graus.

Explicação

Para o mesmo arco, a medida do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central. Igualando as expressões nessa proporção, obtém-se x = 30; o ângulo central e o arco medem 108 graus, e o inscrito mede 54 graus.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom aplicar

Leitura baixo

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

Relação entre ângulo central e ângulo inscrito no mesmo arco.

📌 Objetivo

fixacao

🧱 Pré-requisitos

Resolução de equações do primeiro grau. · Identificação de ângulos e arcos correspondentes numa circunferência.

📚 Reveja

Medida de arcos e ângulos na circunferência.

⚠️ Erro mais comum

Igualar os ângulos central e inscrito, em vez de considerar que o central mede o dobro.

🏫 Contexto

cotidiano

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