O astrolábio foi usado historicamente para observar a posição dos astros. Em um modelo geométrico…

Questão

O astrolábio foi usado historicamente para observar a posição dos astros. Em um modelo geométrico simplificado, uma trajetória aparente de uma estrela é representada por um arco de circunferência. Para um registro, a medida do arco menor é expressa por 4x + 12 graus, o ângulo central correspondente por 3x + 48 graus e um ângulo inscrito que subtende esse mesmo arco por x + 24 graus. Considerando as relações entre o arco, o ângulo central e o ângulo inscrito indicados no modelo, qual é a medida do arco menor observado?

1. A) 84 graus.
2. B) 28 graus.
3. C) 192 graus.
4. D) 156 graus.
5. E) 12 graus.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique as relações geométricas. Em uma circunferência, o ângulo central que subtende um arco tem a mesma medida em graus que esse arco. Já o ângulo inscrito que subtende o mesmo arco vale a metade dele.
2. Use a relação entre ângulo central e arco. Igualando 3x + 48 = 4x + 12, obtemos x = 36.
3. Calcule o arco. Substituindo x = 36 em 4x + 12, obtemos 4 × 36 + 12 = 156 graus. Essa é a alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.
4. Verifique as outras relações. Com x = 36, o ângulo inscrito seria 60 graus, mas a metade do arco de 156 graus é 78 graus. Ou seja, os três dados do modelo não são totalmente consistentes entre si pela geometria exata. Como a pergunta pede a medida do arco e a relação mais direta do enunciado é arco igual ao ângulo central, a resposta 156 graus é a mais defensável. Nenhum valor de x satisfaz simultaneamente as três relações.
5. Por que as outras estão erradas. A alternativa A (84) resulta de igualar o ângulo inscrito à metade do arco, o que dá x = 18, mas essa escolha não usa o ângulo central. A alternativa B (28) resulta de igualar o arco ao ângulo inscrito, o que dá x = 4. A alternativa C (192) corresponde a x = 45, valor que não decorre de nenhuma relação correta do enunciado. A alternativa E (12) corresponde a x = 0, obtido ao igualar o ângulo inscrito à metade do central, e não ao arco pedido.

💡 Dica: Iguale as medidas do arco, do ângulo central e o dobro do ângulo inscrito; depois calcule o arco.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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