Durante a reconstrução de um astrolábio histórico, conservadores analisam uma marcação circular. No modelo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a reconstrução de um astrolábio histórico, conservadores analisam uma marcação circular. No modelo geométrico, os pontos A e B delimitam o arco observado, O é o centro do círculo e C está sobre a circunferência. O ângulo central AOB mede (3x + 15) graus, enquanto o ângulo inscrito ACB, que intercepta o mesmo arco AB, mede (x + 25) graus. Com base na relação entre o ângulo central e o ângulo inscrito que interceptam o mesmo arco, qual é a medida do arco AB?
- A) O arco AB mede 120 graus.
- B) O arco AB mede 60 graus.
- C) O arco AB mede 30 graus.
- D) O arco AB mede 110 graus.
- E) O arco AB mede 45 graus.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Lembre a relação entre ângulo central e ângulo inscrito que interceptam o mesmo arco: o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito (ângulo central = 2 x ângulo inscrito).
- Monte a equação: 3x + 15 = 2(x + 25).
- Desenvolva o lado direito: 3x + 15 = 2x + 50.
- Isole x: 3x - 2x = 50 - 15, logo x = 35.
- Calcule o ângulo central: 3(35) + 15 = 120 graus. Conferindo com o inscrito: 35 + 25 = 60 graus, e 2 x 60 = 120. Como o ângulo central AOB intercepta diretamente o arco AB, a medida do arco AB é 120 graus.
- Conclusão: a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa B está errada porque 60 graus é a medida do ângulo inscrito, não do arco. A alternativa C está errada porque resulta de igualar os dois ângulos sem o fator 2. A alternativa D está errada porque não é o resultado da equação correta. A alternativa E está errada porque não satisfaz a relação entre os ângulos.
💡 Dica: Iguale o ângulo central ao dobro do inscrito; depois, use o ângulo central para determinar o arco.
Alternativa por alternativa
Para o mesmo arco, o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito. Assim, 3x + 15 = 2(x + 25), de onde x = 35. O ângulo central mede 120 graus, que é também a medida do arco correspondente.
O aluno calcula x = 35 e identifica o ângulo inscrito (x + 25 = 60 graus), mas toma esse valor como a medida do arco, esquecendo que o arco é o dobro do ângulo inscrito que o intercepta.
Por que engana: Igualar os ângulos central e inscrito ou tomar o ângulo inscrito como medida do arco.
O aluno iguala diretamente os dois ângulos, 3x + 15 = x + 25, obtendo x = 5 e arco 30 graus. Ele ignora que o ângulo central vale o dobro do inscrito.
O aluno aplica corretamente a ideia de dobro, mas comete erro algébrico ao resolver 3x + 15 = 2x + 50, por exemplo trocando sinais ao passar termos de um lado para o outro, e chega a um valor que não corresponde a 110 graus de forma consistente.
O aluno associa 45 graus a uma metade ou quarta parte de um ângulo reto, sem seguir a relação entre central e inscrito dada no enunciado. Não há uma equação que leve de forma coerente a 45 graus com os dados.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo central, ângulo inscrito e arco interceptado.
fixacao
Resolução de equações do primeiro grau. · Identificação da medida de um arco com a do ângulo central correspondente.
O ângulo inscrito mede metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco.
Igualar os ângulos central e inscrito ou tomar o ângulo inscrito como medida do arco.
Valorização do patrimônio histórico.
historico
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