Em um levantamento hidrográfico, uma equipe utiliza três boias com transmissores acústicos para estimar a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um levantamento hidrográfico, uma equipe utiliza três boias com transmissores acústicos para estimar a posição de um equipamento submerso. Em um mapa cartesiano, as boias estão em A(0, 0), B(8, 0) e C(0, 6), com coordenadas expressas em quilômetros. O sonar indica que o equipamento está a 5 km de cada uma das três boias. Considerando as medidas ideais do modelo, cada indicação define uma circunferência centrada na boia correspondente. Escreva as equações das três circunferências que representam as posições possíveis do equipamento e determine suas coordenadas. Justifique como as medidas fornecidas permitem decidir se há uma única posição compatível com os três registros.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
As circunferências são x^2 + y^2 = 25, (x - 8)^2 + y^2 = 25 e x^2 + (y - 6)^2 = 25. Subtraindo as duas primeiras equações, obtém-se x = 4; substituindo na primeira, y^2 = 9, logo y = 3 ou y = -3. O terceiro registro exige x^2 + (y - 6)^2 = 25. Para (4, 3), essa igualdade é satisfeita; para (4, -3), o lado esquerdo vale 97, portanto essa posição não é compatível. Assim, há uma única posição compatível: (4, 3), em quilômetros.
Explicação
Cada medição de distância fixa define uma circunferência. As duas primeiras se cruzam em (4, 3) e (4, -3), mas apenas (4, 3) também está a 5 km de C(0, 6), como exige o terceiro registro.
Raio-X da questão
Equação da circunferência e interseção de lugares geométricos.
Representar circunfe
Distância entre pontos no plano cartesiano. · Desenvolvimento e simplificação de equações quadráticas.
Circunferência no plano cartesiano.
Concluir que há uma posição comum porque cada par de circunferências pode se interceptar, sem verificar as três simultaneamente.
Ciência e tecnologia; monitoramento hidrográfico.
Raciocínio crítico e persistência na verificação de condições.
Levantamento hidrogr
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