Uma artesã que restaura molduras compara duas opções de fornecimento para um lote de peças. A oficina A cobra…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma artesã que restaura molduras compara duas opções de fornecimento para um lote de peças. A oficina A cobra uma taxa fixa de R$ 180,00 mais R$ 24,00 por moldura restaurada. A oficina B cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais R$ 44,00 por moldura. Em ambos os casos, o custo total varia linearmente com a quantidade de molduras. Considerando os custos das duas oficinas em função da quantidade de molduras, a partir de qual quantidade os custos se igualam e qual oficina passa a ser mais econômica para lotes maiores?
- A) Os custos se igualam em 9 molduras; para lotes com mais de 9 molduras, a oficina A é mais econômica.
- B) Os custos se igualam em 8 molduras; para lotes com mais de 8 molduras, a oficina A é mais econômica.
- C) Os custos se igualam em 12 molduras; para lotes com mais de 12 molduras, a oficina A é mais econômica.
- D) Os custos se igualam em 6 molduras; para lotes com mais de 6 molduras, a oficina A é mais econômica.
- E) Os custos se igualam em 3 molduras; para lotes com mais de 3 molduras, a oficina A é mais econômica.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Escreva as funções de custo. Oficina A: CA(x) = 180 + 24x. Oficina B: CB(x) = 60 + 44x, em que x é a quantidade de molduras.
- Para encontrar o ponto em que os custos se igualam, faça CA(x) = CB(x): 180 + 24x = 60 + 44x.
- Isole x. Subtraindo 24x e 60 dos dois lados, obtém-se 120 = 20x, portanto x = 6. Verificação: CA(6) = 180 + 144 = 324 e CB(6) = 60 + 264 = 324.
- Compare as inclinações. A oficina B cobra 44 por moldura e a A cobra 24, então, a cada moldura extra, o custo de B cresce mais rápido. Para x maior que 6, CA é menor que CB. Teste com x = 7: CA = 348 e CB = 368, confirmando que a oficina A é mais econômica para lotes maiores.
- Conclusão: os custos se igualam em 6 molduras e, para lotes com mais de 6 molduras, a oficina A é mais econômica. Isso coincide com a alternativa D, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A (9): a igualdade não ocorre em 9, pois CA(9) = 396 e CB(9) = 456. B (8): a igualdade não ocorre em 8, pois CA(8) = 372 e CB(8) = 412. C (12): a igualdade não ocorre em 12, pois a diferença de custos ainda não se anula nesse ponto. E (3): a igualdade não ocorre em 3, pois CA(3) = 252 e CB(3) = 192.
💡 Dica: Iguale 180 + 24x a 60 + 44x e depois compare as taxas por moldura.
Alternativa por alternativa
O aluno dividiu a diferença de taxas fixas (180) pela soma das diferenças de custo ou apenas pela taxa fixa da oficina A, obtendo 9 em vez de 120/20 = 6. O erro está no cálculo do ponto de equilíbrio.
O aluno calculou a diferença das taxas fixas como 160 em vez de 120, obtendo 160/20 = 8. Errou a subtração inicial, embora tenha identificado corretamente que a oficina A é mais econômica para lotes maiores.
Por que engana: Subtrair ou comparar apenas as taxas por moldura, sem considerar os valores fixos.
O aluno provavelmente subtraiu incorretamente as taxas por moldura (obtendo 10 em vez de 20) e dividiu 120 por 10, chegando a 12. Erro no cálculo da diferença entre os custos variáveis.
Os modelos são A(x) = 180 + 24x e B(x) = 60 + 44x. Igualando-os, obtém-se 120 = 20x, portanto x = 6. Como a oficina A cobra menos por moldura, seu custo fica menor para quantidades acima desse ponto.
O aluno ignorou a taxa fixa de A e comparou apenas a taxa fixa de B (60) com a diferença de custos por moldura (20), obtendo 3. Não entendeu que os dois custos fixos precisam ser igualados na equação.
Raio-X da questão
Igualdade e comparação de funções afins.
Igualar custos linea
Resolver equações do primeiro grau. · Interpretar taxa fixa e custo por unidade.
Ponto de interseção e comportamento de funções afins.
Subtrair ou comparar apenas as taxas por moldura, sem considerar os valores fixos.
Educação financeira e consumo consciente.
Comparação de preços
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