Em levantamentos topográficos com instrumentos ópticos, a altura de um objeto inacessível pode ser estimada a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em levantamentos topográficos com instrumentos ópticos, a altura de um objeto inacessível pode ser estimada a partir de ângulos de elevação medidos em pontos distintos, desde que as distâncias horizontais entre esses pontos sejam conhecidas. Um equipamento está instalado no topo de uma torre vertical, sobre um terreno plano. Dois pontos de observação ficam alinhados com a base da torre e no mesmo lado dela. No ponto mais próximo, a tangente do ângulo de elevação até o topo é 1/2; no ponto mais distante, essa tangente é 1/3. A distância entre os pontos de observação é 20 m. Qual é a altura da torre?
- A) 20 m
- B) 30 m
- C) 10 m
- D) 60 m
- E) 40 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Chame de h a altura da torre e de x a distância horizontal entre a base da torre e o ponto mais próximo. Como o ponto mais distante está 20 m além do mais próximo, sua distância à base é x + 20.
- No ponto mais próximo, a tangente do ângulo de elevação é cateto oposto sobre cateto adjacente, ou seja, h/x = 1/2. Logo, x = 2h.
- No ponto mais distante, h/(x + 20) = 1/3. Logo, x + 20 = 3h.
- Substituindo x = 2h na segunda equação, obtemos 2h + 20 = 3h, o que dá h = 20 m.
- Conferindo: com h = 20, o ponto mais próximo fica a x = 40 m (20/40 = 1/2) e o mais distante a 60 m (20/60 = 1/3), e a diferença entre eles é 20 m, como o enunciado indica.
- Conclusão: a alternativa correta é a A (20 m), que coincide com o gabarito oficial. A alternativa B (30 m) está errada porque resulta de multiplicar 20 por 3/2 em vez de resolver a equação. A alternativa C (10 m) está errada porque divide a distância de 20 m por 2 sem usar as tangentes. A alternativa D (60 m) está errada porque toma a distância do ponto mais distante como altura. A alternativa E (40 m) está errada porque toma a distância do ponto mais próximo como altura.
💡 Dica: Seja x a distância do ponto próximo à torre e h a altura; iguale h a x/2 e a (x+20)/3.
Alternativa por alternativa
Se a distância do ponto mais próximo à base da torre é x e a altura é h, então h/x = 1/2. O ponto mais distante está a x + 20 m, portanto h/(x + 20) = 1/3. Igualando as expressões de h, obtém-se x = 40 m e, assim, h = 20 m.
O aluno provavelmente multiplicou a distância de 20 m pelo fator 3/2, tratando a tangente como se fosse uma proporção direta entre a distância e a altura, sem montar o sistema com as duas tangentes.
O aluno provavelmente dividiu os 20 m por 2, usando apenas a tangente 1/2 e ignorando a informação do segundo ponto de observação.
O aluno provavelmente multiplicou 20 por 3, confundindo a tangente 1/3 com a altura e tomando a distância do ponto mais distante como altura da torre.
O aluno provavelmente inverteu a relação da tangente e multiplicou 20 por 2, tratando a distância do ponto mais próximo como se fosse a altura da torre.
Por que engana: Usar a distância de 20 m como distância do ponto próximo à torre, em vez de como separação entre os observadores.
Raio-X da questão
Tangente do ângulo de elevação em triângulos retângulos.
Aplicar tangente e r
Identificação dos catetos oposto e adjacente em triângulo retângulo. · Montagem e resolução de equações lineares simples.
Razão tangente: cateto oposto sobre cateto adjacente.
Usar a distância de 20 m como distância do ponto próximo à torre, em vez de como separação entre os observadores.
Estimativa topográfi
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