Uma associação comunitária vai construir uma horta retangular em um terreno de 180 m^2. Para aproveitar o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma associação comunitária vai construir uma horta retangular em um terreno de 180 m^2. Para aproveitar o espaço, o projeto prevê que o comprimento seja 3 metros maior que a largura. Se a largura for representada por x, as medidas devem satisfazer a equação x^2 + 3x - 180 = 0. Considerando que as medidas do terreno devem ser positivas, quais são a largura e o comprimento previstos no projeto?
- A) A largura é 9 m e o comprimento é 20 m.
- B) A largura é 13 m e o comprimento é 16 m.
- C) A largura é 10 m e o comprimento é 18 m.
- D) A largura é 11 m e o comprimento é 17 m.
- E) A largura é 12 m e o comprimento é 15 m.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A área da horta é a largura multiplicada pelo comprimento. Como o comprimento é 3 m maior que a largura x, a área fica x(x+3) = 180, o que gera a equação x^2 + 3x - 180 = 0, já fornecida no enunciado. Passo 2: Resolvemos a equação por Bhaskara. O discriminante é Δ = 3^2 - 4(1)(-180) = 9 + 720 = 729, e a raiz quadrada de 729 é 27. Passo 3: As soluções são x = (-3 + 27)/2 = 12 e x = (-3 - 27)/2 = -15. Como as medidas devem ser positivas, descartamos x = -15 e ficamos com x = 12 m. Passo 4: O comprimento é x + 3 = 15 m. Passo 5: Conferindo, 12 x 15 = 180 m^2, que é a área do terreno, e o comprimento é exatamente 3 m maior que a largura. Passo 6: Por que as outras estão erradas: na A, 9 x 20 = 180, mas a diferença entre as medidas é 11, não 3; na B, 13 x 16 = 208, não 180; na C, 10 x 18 = 180, mas a diferença é 8, não 3; na D, 11 x 17 = 187, não 180. Portanto, a alternativa correta é a E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule as raízes da equação e escolha a positiva que satisfaz as condições.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou um par de números cujo produto é 180 (9 x 20) e não verificou a condição de que o comprimento exceda a largura em exatamente 3 m.
O aluno percebeu que 16 - 13 = 3, mas não conferiu se a área 13 x 16 = 208 é igual a 180 m^2.
O aluno acertou o produto 10 x 18 = 180, mas ignorou a diferença de 8 metros entre as medidas, que deveria ser 3.
Por que engana: Considerar raiz negativa como solução válida.
O aluno se aproximou da solução por tentativa e erro, sem fazer a conta de verificação, e aceitou 11 x 17 = 187 como se fosse 180.
A equação pode ser fatorada como (x + 15)(x - 12) = 0, fornecendo x = -15 ou x = 12. Como uma medida não pode ser negativa, a largura é 12 m e o comprimento, 3 m maior, é 15 m.
Raio-X da questão
Equação quadrática aplicada à geometria
Resolver equação qua
Resolução de equações do 2º grau · Noções de áreas e dimensões geométricas
Análise de raízes e suas interpretações físicas
Considerar raiz negativa como solução válida.
Persistência para verificar soluções válidas
Aplicação prática em
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