Uma escola pretende reservar um canteiro retangular para uma horta comunitária. O projeto determina que o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escola pretende reservar um canteiro retangular para uma horta comunitária. O projeto determina que o canteiro tenha perímetro de 34 metros e área de 60 metros quadrados. Para representar uma das dimensões, foi definida a variável x, em metros; a outra dimensão pode ser expressa por 17 - x, pois o semiperímetro mede 17 metros. Considerando os dados do projeto, quais são as dimensões do canteiro retangular?
- A) As dimensões do canteiro são 6 m e 11 m.
- B) As dimensões do canteiro são 3 m e 14 m.
- C) As dimensões do canteiro são 7 m e 10 m.
- D) As dimensões do canteiro são 5 m e 12 m.
- E) As dimensões do canteiro são 4 m e 13 m.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como o perímetro é 34 m, o semiperímetro é 17 m, então as dimensões são x e 17 - x. Passo 2: A área é a multiplicação das dimensões: x(17 - x) = 60. Passo 3: Desenvolvendo, 17x - x^2 = 60, ou seja, x^2 - 17x + 60 = 0. Passo 4: Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é Δ = 17^2 - 4(1)(60) = 289 - 240 = 49, e a raiz quadrada de 49 é 7. Passo 5: x = (17 ± 7)/2, o que dá x = 12 ou x = 5. Passo 6: Se x = 12, a outra dimensão é 17 - 12 = 5; se x = 5, a outra é 12. Em ambos os casos o canteiro tem 5 m e 12 m. Passo 7: Verificação: perímetro 2(5 + 12) = 34 m e área 5 x 12 = 60 m². Passo 8: Por isso a alternativa D está correta, coincidindo com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois 6 e 11 somam 17, mas o produto 66 não é 60. A alternativa B está errada, pois 3 x 14 = 42 não é 60. A alternativa C está errada, pois 7 x 10 = 70 não é 60. A alternativa E está errada, pois 4 x 13 = 52 não é 60.
💡 Dica: Montar equação do perímetro e usar equação da área para achar x
Alternativa por alternativa
O aluno verificou apenas que 6 + 11 = 17, esquecendo que a área precisa ser 60 m², e não calculou o produto 6 x 11 = 66.
Por que engana: Confundir perímetro com área ou erro ao montar a equação
O aluno conferiu apenas a soma 3 + 14 = 17 (semiperímetro) e não aplicou a condição da área, cujo produto 3 x 14 = 42 não coincide com 60.
O aluno considerou que qualquer par de números com soma 17 serve, sem verificar o produto 7 x 10 = 70, que não é 60 m².
A área permite montar x(17 - x) = 60, ou x^2 - 17x + 60 = 0. Fatorando, obtemos (x - 5)(x - 12) = 0; portanto, as dimensões são 5 m e 12 m.
O aluno verificou somente o semiperímetro 4 + 13 = 17 e não calculou a área, cujo produto 4 x 13 = 52 não é 60 m².
Raio-X da questão
Equações quadráticas aplicadas a medidas geométricas
Resolver problemas e
Noção de perímetro e área · Noções básicas de álgebra e fatoração
Propriedades de retângulos (perímetro e área)
Confundir perímetro com área ou erro ao montar a equação
Persistência na resolução de problemas
Situação real de pro
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