Em uma escola, o sistema de aprovação automática registra a média final dos estudantes por meio da equação…

Questão

Em uma escola, o sistema de aprovação automática registra a média final dos estudantes por meio da equação: x^2 - 6x + 9 = 0, onde x representa a média que um estudante pode obter para ser aprovado exatamente no limite. Ao analisar os resultados, observa-se que apenas um valor de média resolve essa equação. Para ampliar a análise do sistema, também são apresentadas as equações x^2 - 9 = 0 e x^4 - 10x^2 + 9 = 0. Considerando o contexto apresentado, interprete a equação x^2 - 6x + 9 = 0 e explique por que ela possui somente uma solução real. O que significa essa solução se repetir, e como isso se relaciona ao que o sistema espera do estudante nesse caso? Em seguida, identifique a equação incompleta e a equação biquadrática apresentadas e determine suas soluções reais.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A equação x^2 - 6x + 9 = 0 pode ser escrita como (x - 3)^2 = 0. Assim, sua única solução real é x = 3, mas ela é uma raiz dupla, pois os dois valores que seriam obtidos em uma equação do 2º grau coincidem. No contexto, isso indica que a média 3 é exatamente a média-limite esperada pelo sistema. A equação x^2 - 9 = 0 é uma equação do 2º grau incompleta, pois não possui o termo em x. Suas soluções são x = 3 e x = -3. A equação x^4 - 10x^2 + 9 = 0 é biquadrática. Fazendo y = x^2, obtém-se y^2 - 10y + 9 = 0, cujas soluções são y = 1 e y = 9. Portanto, as soluções reais da equação biquadrática são x = -3, x = -1, x = 1 e x = 3.

Explicação

A primeira equação tem raiz dupla porque seu discriminante é igual a zero, ou porque pode ser fatorada como um quadrado perfeito. A segunda é incompleta porque falta o termo de primeiro grau. A terceira é biquadrática porque envolve x^4 e x^2 e pode ser resolvida substituindo x^2 por uma nova variável.

Raio-X da questão

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