Ao revisar os esboços de um piso modular, estudantes representaram cinco contornos quadrilaterais em um plano…

Questão

Ao revisar os esboços de um piso modular, estudantes representaram cinco contornos quadrilaterais em um plano cartesiano, com os vértices indicados na ordem de ligação: modelo I: A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3); modelo II: A(0,0), B(5,0), C(4,3), D(1,3); modelo III: A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3); modelo IV: A(0,0), B(5,0), C(5,2), D(1,3); modelo V: A(0,0), B(3,0), C(3,3), D(0,3). Surgiu a conjectura de que todo quadrilátero com diagonais de mesmo comprimento é um retângulo. Para refutá-la, seria necessário encontrar um quadrilátero com diagonais congruentes e com lados consecutivos não perpendiculares. Cada unidade da malha corresponde a 1 m. Analise os modelos descritos e identifique aquele que constitui um contraexemplo para a conjectura apresentada.

1. A) O modelo V, pois tem diagonais de raiz quadrada de 18 m e lados consecutivos perpendiculares.
2. B) O modelo I, pois tem diagonais de 5 m e lados consecutivos perpendiculares.
3. C) O modelo II, pois tem diagonais de 5 m e lados consecutivos não perpendiculares.
4. D) O modelo IV, pois tem diagonais de raiz quadrada de 29 m e 5 m.
5. E) O modelo III, pois tem diagonais de raiz quadrada de 34 m e raiz quadrada de 18 m.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Para refutar a conjectura, o contraexemplo precisa ter diagonais congruentes (mesmo comprimento) e não ser retângulo, ou seja, pelo menos um par de lados consecutivos não perpendiculares. Passo 2: Modelo II: A(0,0), B(5,0), C(4,3), D(1,3). A diagonal AC vai de (0,0) a (4,3), com comprimento raiz de (16+9), igual a 5 m. A diagonal BD vai de (5,0) a (1,3), com comprimento raiz de (16+9), igual a 5 m. As diagonais são congruentes. Passo 3: Verificando os lados consecutivos, AB é horizontal e BC tem vetor (-1,3). O produto escalar de AB por BC é -5, diferente de zero, logo AB e BC não são perpendiculares. O quadrilátero não é retângulo. Passo 4: Além disso, DC é horizontal e paralelo a AB, e os lados BC e AD têm comprimento raiz de 10 m, o que caracteriza um trapézio isósceles, figura que tem diagonais congruentes sem ser retângulo. Portanto, o modelo II refuta a conjectura e o gabarito está correto. Passo 5: Modelo I: é um retângulo de 4 m por 3 m, com diagonais de 5 m e ângulos retos; não serve, pois é retângulo. Passo 6: Modelo III: a diagonal AC é raiz de 34 m e a diagonal BD é raiz de 18 m, que não são congruentes; não serve. Passo 7: Modelo IV: a diagonal AC é raiz de 29 m e a diagonal BD é 5 m, não congruentes; não serve. Passo 8: Modelo V: é um retângulo de 3 m por 3 m... na verdade de 3 m por 3 m não é quadrado, é retângulo de 3 m por 3 m com lados 3 e 3 e altura 3, ou seja, um quadrado de lado 3 m, com diagonais raiz de 18 m e lados perpendiculares; é retângulo, então não serve como contraexemplo.

💡 Dica: Calcule as diagonais e verifique os ângulos entre os lados consecutivos para identificar o contraexemplo.

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Raio-X da questão

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