— Se as diagonais de um quadrilátero formam 90 graus, então seus quatro lados têm a mesma medida — afirmou um…

Questão

— Se as diagonais de um quadrilátero formam 90 graus, então seus quatro lados têm a mesma medida — afirmou um participante de uma oficina de desenho urbano. Para examinar a afirmação, o grupo registrou no plano cartesiano os vértices, em ordem, de uma peça decorativa: P(0,4), Q(3,0), R(0,-2) e S(-3,0). A coordenadora propôs que, antes de aceitar a ideia, fossem verificadas tanto a posição das diagonais PR e QS quanto as medidas dos lados. O objetivo não era classificar a peça pelo aspecto visual, mas decidir se os dados sustentavam a afirmação inicial. Analise os dados do texto e identifique a conclusão que refuta a afirmação apresentada pelo participante.

1. A) A conclusão de que diagonais de mesmo comprimento provam que a peça é um losango.
2. B) A conclusão de que dois pares de lados adjacentes iguais tornam todos os lados iguais.
3. C) A conclusão de que a perpendicularidade das diagonais prova que a peça é um losango.
4. D) A conclusão de que lados com medidas diferentes impedem diagonais perpendiculares.
5. E) A conclusão de que as diagonais são perpendiculares, mas lados adjacentes medem 5 e raiz quadrada de 13.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Determine as diagonais. A diagonal PR liga (0,4) a (0,-2), ou seja, está sobre o eixo y (x = 0). A diagonal QS liga (3,0) a (-3,0), ou seja, está sobre o eixo x (y = 0). Como um eixo é perpendicular ao outro e ambos se cruzam em (0,0), as diagonais formam 90 graus.
2. Calcule os quatro lados pela distância entre vértices consecutivos. PQ: raiz de (3^2 + 4^2) = raiz de 25 = 5. QR: raiz de (3^2 + 2^2) = raiz de 13. RS: raiz de (3^2 + 2^2) = raiz de 13. SP: raiz de (3^2 + 4^2) = 5. Logo, os lados medem 5, raiz de 13, raiz de 13 e 5.
3. Compare com a afirmação. As diagonais são de fato perpendiculares, mas os lados não têm a mesma medida. Isso mostra que a perpendicularidade das diagonais não garante que os quatro lados sejam iguais, o que refuta a afirmação do participante. Essa é a conclusão da alternativa E, que está correta.
4. Por que as outras estão erradas. A: diagonais de mesmo comprimento (ambas medem 6) caracterizam retângulos, não losangos, e além disso não provam nada sobre a peça. B: dois pares de lados adjacentes iguais definem uma pipa, e não garantem que todos os lados sejam iguais. C: a perpendicularidade das diagonais não prova losango, pois pipas também têm diagonais perpendiculares. D: os dados mostram o contrário, pois as diagonais são perpendiculares mesmo com lados de medidas diferentes.

💡 Dica: Calcule as medidas dos lados e o ângulo entre as diagonais para verificar a afirmação.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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