— Se reduzirmos o preço, venderemos mais ingressos, mas a arrecadação não crescerá necessariamente — observou…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Se reduzirmos o preço, venderemos mais ingressos, mas a arrecadação não crescerá necessariamente — observou a gestora de um cinema municipal durante o planejamento de uma mostra. A projeção de vendas indica que, cobrando R$ 10,00 por ingresso, serão vendidos 400 ingressos. Para cada aumento de R$ 1,00 no preço, a estimativa é de redução de 20 ingressos vendidos. Os preços serão definidos em valores inteiros de reais, e a gestão desconsiderará custos para comparar apenas a receita obtida com a bilheteria. Se n representar o número de aumentos de R$ 1,00 aplicados ao preço inicial, a quantidade prevista de ingressos será 400 - 20n. Analise a relação entre preço e quantidade prevista no texto e determine o preço do ingresso que maximiza a receita da bilheteria.
- A) A cobrança de R$ 25,00 por ingresso.
- B) A cobrança de R$ 15,00 por ingresso.
- C) A cobrança de R$ 5,00 por ingresso.
- D) A cobrança de R$ 10,00 por ingresso.
- E) A cobrança de R$ 20,00 por ingresso.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Defina o preço em função de n. Como cada aumento é de R$ 1,00 sobre o preço inicial de R$ 10,00, o preço é 10 + n, e a quantidade vendida é 400 - 20n, conforme o enunciado.
- Escreva a receita (preço vezes quantidade): R(n) = (10 + n)(400 - 20n) = 4000 + 200n - 20n^2.
- Encontre o valor de n que maximiza R(n). Como o coeficiente de n^2 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o máximo está no vértice: n = -200 / (2 x (-20)) = 5.
- Calcule o preço e a quantidade: preço = 10 + 5 = R$ 15,00; quantidade = 400 - 20 x 5 = 300 ingressos. A receita máxima é 15 x 300 = R$ 4.500,00, maior que a receita de R$ 4.000,00 obtida com R$ 10,00 ou R$ 20,00.
- Conclusão: minha resolução coincide com o gabarito oficial, alternativa B.
- Por que as outras estão erradas: A) R$ 25,00 corresponde a n = 15, com 100 ingressos e receita de R$ 2.500,00, inferior ao máximo. C) R$ 5,00 corresponde a n = -5, com 500 ingressos e receita de R$ 2.500,00, inferior ao máximo. D) R$ 10,00 é o preço inicial (n = 0), com receita de R$ 4.000,00, que pode ser melhorada aumentando o preço. E) R$ 20,00 corresponde a n = 10, com 200 ingressos e receita de R$ 4.000,00, também inferior a R$ 4.500,00.
💡 Dica: Formule a função receita e encontre seu máximo usando cálculo ou análise de vértice da parábola.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou o preço de R$ 25,00 como ótimo ao aumentar o preço sem comparar as receitas, ou calculou mal o número de aumentos. Em qualquer caso, não percebeu que a queda de vendas passa a pesar mais que o ganho por ingresso.
A receita é R(n)=(10+n)(400-20n)=-20n^2+200n+4000. O vértice ocorre em n=5, resultando em preço de R$ 15,00.
O aluno provavelmente inverteu o sinal da variação, tratando a redução de preço como se fosse n positivo, e assim chegou a R$ 5,00 com 500 ingressos. Também pode ter achado que reduzir preço sempre aumenta a receita, sem limite.
O aluno provavelmente assumiu que o preço inicial já é o melhor, ou que a receita não muda porque o número de ingressos cai. Não aplicou a relação entre preço e quantidade para testar os aumentos.
O aluno provavelmente estimou o máximo no ponto médio entre o preço inicial de R$ 10,00 e o preço de R$ 30,00, que zera as vendas, sem montar a função da receita. Essa estimativa sem cálculo levou a R$ 20,00, cuja receita é menor que a máxima.
Raio-X da questão
maximização de receita bilheteria
avaliacao
função afim e função quadrática · análise de gráficos e tabelas
estudo de funções quadráticas e maximização de funções
Confundir a relação entre preço e quantidade vendida, ou não aplicar corretamente a fórmula da receita como produto do preço pela quantidade.
pensamento_critico
cotidiano
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