Manchete ficticia: Oscilac¸a~o na bilheteria de teatro comunita´rio atraiu a atenc¸a~o dos organizadores…

Questão

Manchete ficticia: Oscilac¸a~o na bilheteria de teatro comunita´rio atraiu a atenc¸a~o dos organizadores. Dados ilustrativos apontam que, quanto maior o prec¸o do ingresso p (em reais), menor o nu´mero de espectadores Q(p)=300-3p. A receita R(p) obtida em um dia de apresentac¸a~o e´ dada por R(p)=p·Q(p). Os organizadores querem definir o valor de p que proporciona a maior arrecadac¸a~o. Analise o texto-base e identifique o prec¸o do ingresso que maximiza a arrecadac¸a~o do teatro comunita´rio.

1. A) 150 reais
2. B) 25 reais
3. C) 100 reais
4. D) 75 reais
5. E) 50 reais

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Escrever a receita em função de p. Como R(p) = p·Q(p) e Q(p) = 300 - 3p, temos R(p) = p(300 - 3p) = 300p - 3p^2, que é uma função quadrática com coeficiente de p^2 igual a -3.
2. Identificar o tipo de máximo. Como o coeficiente de p^2 é negativo (-3), a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice. Logo, existe um único preço que maximiza a arrecadação.
3. Calcular o vértice. A abscissa do vértice é p = -b/(2a), com a = -3 e b = 300. Então p = -300/(2·(-3)) = -300/(-6) = 50 reais.
4. Verificar a arrecadação máxima. Para p = 50, Q(50) = 300 - 150 = 150 espectadores e R(50) = 50·150 = 7500 reais. Para conferir, R(40) = 40·180 = 7200 e R(60) = 60·120 = 7200, ambos menores que 7500, o que confirma o máximo em 50.
5. Comparar com o gabarito. O preço que maximiza a arrecadação é 50 reais, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas. A (150 reais) é o número de espectadores no ponto ótimo, não o preço. B (25 reais) resulta de usar 4a no denominador em vez de 2a. C (100 reais) é o preço em que Q(p) = 0 e a receita se anula, ou seja, uma raiz de R, e não o vértice. D (75 reais) resulta de dividir 300 por 4, ignorando o coeficiente 3 do termo quadrático.

💡 Dica: Calcule a receita R(p) e encontre o valor de p que a maximiza.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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