Dois engenheiros planejam a construção de um centro de atendimento para duas cidades representadas em um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dois engenheiros planejam a construção de um centro de atendimento para duas cidades representadas em um sistema de coordenadas cartesianas: cidade A em (0, 0) e cidade B em (6, 0). Duas rodovias partem do ponto (0, 0), uma seguindo o eixo x positivo e outra o eixo y positivo. O centro deve ficar equidistante das duas cidades e também equidistante de ambas as rodovias. Analise o texto-base e identifique as coordenadas do ponto onde deve ser instalado o centro de atendimento.
- A) (3, 0)
- B) (3, 3)
- C) (3, -3)
- D) (0, 3)
- E) (6, 6)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os pontos equidistantes de A(0, 0) e B(6, 0) estão na mediatriz do segmento AB, que é a reta x = 3. Assim, o centro tem coordenadas (3, y).
- As rodovias partem de (0, 0) e seguem o eixo x positivo e o eixo y positivo. Logo, são semirretas, e não retas completas. Para o ponto (3, y) com y maior ou igual a 0, a distância à rodovia do eixo x é y (o pé da perpendicular cai em (3, 0), que pertence à semirreta), e a distância à rodovia do eixo y é 3 (o pé da perpendicular cai em (0, y), que pertence à semirreta).
- Para ser equidistante das duas rodovias, é preciso que y = 3. O ponto é (3, 3).
- Verificação: distância de (3, 3) a A é raiz de 18, e a B também é raiz de 18. Distância à rodovia do eixo x é 3 e à do eixo y também é 3. Todas as condições são satisfeitas.
- Por que as outras estão erradas: (3, 0) fica sobre a rodovia do eixo x, com distância 0 a ela e 3 à do eixo y; (3, -3) está abaixo do eixo x, fora da semirreta, e sua distância à rodovia do eixo y é raiz de 18; (0, 3) não é equidistante de A e B, pois a distância a A é 3 e a B é raiz de 45; (6, 6) está a 6 de B e a raiz de 72 de A, então não é equidistante das cidades.
- O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Use propriedades de distância no plano cartesiano e simetria para encontrar o ponto equidistante.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que basta estar no meio das cidades, sem verificar a distância às rodovias. O ponto (3, 0) está sobre a rodovia do eixo x, cuja distância é zero, enquanto a distância à rodovia do eixo y é 3.
Por que engana: Confundir a distância entre pontos com coordenadas médias ou não considerar a equidistância das rodovias.
A mediatriz de AB é x=3 e a bissetriz do ângulo reto entre eixos é y=x; sua interseção é (3,3).
O aluno trata as rodovias como retas completas, e não como semirretas partindo da origem. Com isso, (3, -3) parece equidistante dos dois eixos (distância 3 a cada um), mas o ponto está abaixo do eixo x, fora da rodovia real.
O aluno iguala a coordenada y ao valor da mediatriz ou confunde a condição de equidistância das cidades, usando x = 0 em vez de x = 3. Assim, (0, 3) fica sobre o eixo y e não é equidistante de A e B.
O aluno supõe que o ponto deve estar na diagonal y = x, ou apenas copia coordenadas que parecem simétricas às rodovias, sem checar a equidistância das cidades. Em (6, 6), a distância a B é 6 e a A é raiz de 72.
Raio-X da questão
distância no plano cartesiano
avaliacao
distância entre pontos · equidistância e simetria
Estude distância entre pontos e propriedades de simetria no plano cartesiano.
Confundir a distância entre pontos com coordenadas médias ou não considerar a equidistância das rodovias.
pensamento_critico
abstrato
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