Se log2 y = -1 + 1/2 + 2/3 log2 x, para x > 0, então [FUVEST 2019 - Questão 53] FUVEST - 2019
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se log2 y = -1 + 1/2 + 2/3 log2 x, para x > 0, então [FUVEST 2019 - Questão 53] FUVEST - 2019
- A) y = ³vx²/v2
- B) y = x³/2
- C) y = -1/v2 + ³vx²
- D) y = v2 · ³vx²
- E) y = v2x³
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolva a equação por conta própria. Em log2 y = -1 + 1/2 + (2/3) log2 x, primeiro some as constantes: -1 + 1/2 = -1/2. Logo, log2 y = -1/2 + (2/3) log2 x.
- Isole y. Como log2 y = -1/2 + (2/3) log2 x, use a propriedade de que a e b são iguais quando log2 a = log2 b. Escreva -1/2 + (2/3) log2 x como log2 (2^(-1/2)) + log2 (x^(2/3)), que é log2 (x^(2/3) / raiz de 2).
- Conclua. Como log2 y = log2 (x^(2/3) / raiz de 2), temos y = x^(2/3) / raiz de 2. Como x^(2/3) é a raiz cúbica de x^2, isso equivale a y = raiz cúbica de x^2 / raiz de 2, que é a alternativa A.
- Compare com o gabarito oficial, que é A. Coincidem, então não há discordância.
- Verifique as demais alternativas. B está errada porque o expoente de x deveria ser 2/3, não 3/2 ou 3. C está errada porque transforma um produto em soma: a constante deveria multiplicar, não somar. D está errada porque a constante deveria ser 1/raiz de 2 (expoente negativo), não raiz de 2. E está errada porque tem a constante correta no sentido errado e o expoente de x errado (x^3 no lugar de x^(2/3)).
💡 Dica: Isolar log2 y e aplicar propriedades dos logaritmos para encontrar y.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Manipulação correta da equação logarítmica para obter y = ³vx²/v2.
O aluno provavelmente tratou (2/3) log2 x como se fosse log2 de x^3 ou x^(3/2), trocando a posição do numerador e do denominador do expoente, e ignorou o fato de que o expoente correto de x é 2/3.
Por que engana: Confundir a manipulação de logaritmos e aplicar incorretamente as propriedades, levando a uma expressão errada para y.
O aluno somou a constante -1/raiz de 2 à raiz cúbica de x^2, como se log2 y = a + b implicasse y = a + b, sem perceber que a soma no logaritmo corresponde a produto na função exponencial.
O aluno converteu o termo -1/2 em raiz de 2 como se fosse +1/2, confundindo o sinal do expoente ao passar de logaritmo para potência de base 2.
O aluno errou o expoente de x, usando x^3 em vez de x^(2/3), e também inverteu a constante, multiplicando por raiz de 2 em vez de dividir por ela, provavelmente por não aplicar corretamente a inversa do logaritmo.
Raio-X da questão
logaritmos, propriedades, equações
avaliacao
propriedades de logaritmos · equações logarítmicas
Revisar propriedades dos logaritmos e resolução de equações logarítmicas.
Confundir a manipulação de logaritmos e aplicar incorretamente as propriedades, levando a uma expressão errada para y.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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