Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S_1, S_2 e S_3…

Questão

Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S_1, S_2 e S_3, conforme a figura ao lado. Os volumes de S_1, S_2 e S_3, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1. O quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S_1 é igual a ³v7. Assinale a alternativa que corresponde à razão q. (UFPR 2024)

1. A) 2
2. B) 3
3. C) 4
4. D) 5

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Seja R o raio e H a altura do cone S. Os planos paralelos à base determinam cones semelhantes ao cone S. Chame de k1 = r1/R a razão de semelhança do cone menor S_1 e de k2 = r2/R a razão do cone limitado pelo segundo plano, que contém S_1 e S_2. Como o volume escala com o cubo da razão de semelhança, o volume de S_1 é k1^3 V, o volume de S_1 mais S_2 é k2^3 V, e o cone inteiro tem volume V.
2. Os volumes estão em progressão geométrica de razão q, logo são a, aq e aq^2. Assim S_2 = k2^3 V - k1^3 V = q k1^3 V, o que dá k2^3 = (1+q) k1^3. Também S_3 = V - k2^3 V = q^2 k1^3 V, o que dá 1 - k2^3 = q^2 k1^3.
3. Substituindo a primeira relação na segunda, obtemos 1 = (1+q) k1^3 + q^2 k1^3 = (q^2 + q + 1) k1^3. Portanto k1^3 = 1/(q^2 + q + 1).
4. O enunciado dá R/r1 = raiz cúbica de 7, logo k1 = 1/raiz cúbica de 7 e k1^3 = 1/7. Então q^2 + q + 1 = 7, ou seja, q^2 + q - 6 = 0. As raízes são q = 2 e q = -3. Como q > 1, temos q = 2, que é a alternativa A, de acordo com o gabarito.
5. Verificação: com q = 2, os volumes ficam proporcionais a 1, 2 e 4, cuja soma é 7. Logo S_1 = V/7, o que confirma k1^3 = 1/7.
6. Por que as outras estão erradas: na alternativa B (q = 3), a soma 1 + q + q^2 foi feita com sinal trocado, o que gera a equação q^2 - q - 6 = 0. Na alternativa C (q = 4), a constante foi errada, pois 1 + q + q^2 = 21 não corresponde ao valor 7. Na alternativa D (q = 5), a equação correta seria 1 + q + q^2 = 31, que não coincide com 7.

💡 Dica: Use propriedades de semelhança e progressão geométrica para relacionar volumes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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