Se os números reais positivos m, n, e p formam, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a soma log m +…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se os números reais positivos m, n, e p formam, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a soma log m + log n + log p é igual a (UECE 2012)
- A) 2 log n.
- B) 3 log n.
- C) 4 log n.
- D) 5 log n.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como m, n e p estão em progressão geométrica nessa ordem, a razão q existe tal que n = m·q e p = n·q. Logo, n^2 = m·p, pois n·n = (m·q)·(n) = m·(n·q) = m·p.
- Use a propriedade do logaritmo do produto: log m + log n + log p = log(m·n·p).
- Substitua m·p pelo seu valor n^2: m·n·p = n^2·n = n^3.
- Aplique novamente a propriedade da potência: log(n^3) = 3·log n.
- Portanto a soma é igual a 3 log n, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 2 log n corresponde apenas a log(m·p), esquecendo a parcela log n. C) 4 log n exigiria que o produto mnp fosse n^4, o que não ocorre. D) 5 log n exigiria que o produto mnp fosse n^5, o que também não ocorre.
💡 Dica: Use propriedades de progressão geométrica e logaritmos para simplificar a soma.
Alternativa por alternativa
O aluno percebe corretamente que m·p = n^2 e obtém 2 log n, mas esquece de somar o termo log n da própria sequência, como se a soma envolvesse apenas os extremos.
CORRETA. Como m, n e p formam uma PG, podemos escrever m = n/r e p = n r, onde r é a razão. Assim, log m + log n + log p = log(n/r) + log n + log(n r) = log n - log r + log n + log n + log r = 3 log n.
O aluno calcula mnp como n^2·n^2, duplicando o n^2 e incluindo um n a mais do que existe no produto, ou seja, conta o termo central duas vezes.
O aluno acredita que o produto dos três termos tem expoente 5 em n, provavelmente somando expoentes de forma errada ao substituir m·p por n^2 e multiplicando por n^3 ou por outra potência sem base conceitual.
Raio-X da questão
progressão geométrica e logaritmos
diagnostico
propriedades de logaritmos · progressão geométrica
Estude propriedades de progressão geométrica e regras de logaritmos.
Confundir a relação entre os termos da progressão geométrica e aplicar incorretamente as propriedades dos logaritmos.
pensamento_critico
abstrato
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