No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção do gráfico da função linear afim f(x) =…

Questão

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção do gráfico da função linear afim f(x) = mx + n com o gráfico da função quadrática g(x) = ax² + bx + c são os pontos (0,5) e (7,12). O gráfico da função f corta o eixo-x no ponto S e o gráfico de g corta o mesmo eixo nos pontos (1,0) e N. Se V é o vértice da parábola (gráfico da função g), então, a área do triângulo SNV é igual a (UECE 2017)

1. A) 24 u. a.
2. B) 18 u. a.
3. C) 22 u. a.
4. D) 20 u. a.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Encontrar f(x). Como f(x) = mx + n passa por (0,5), temos n = 5. Como também passa por (7,12), 7m + 5 = 12, logo m = 1. Assim, f(x) = x + 5. O ponto S é onde f corta o eixo x: x + 5 = 0, logo x = -5 e S = (-5, 0). Passo 2: Encontrar g(x). Como g(x) = ax² + bx + c passa por (0,5), c = 5. Como passa por (7,12), 49a + 7b + 5 = 12, ou seja, 7a + b = 1. Como passa por (1,0), a + b + 5 = 0, ou seja, a + b = -5. Subtraindo as equações, 6a = 6, então a = 1 e b = -6. Logo g(x) = x² - 6x + 5. Passo 3: Encontrar N. As raízes de g são as soluções de x² - 6x + 5 = 0, isto é, (x - 1)(x - 5) = 0. Como uma raiz é 1, a outra é 5, e N = (5, 0). Conferência: f e g se cruzam quando x + 5 = x² - 6x + 5, isto é, x² - 7x = 0, com x = 0 e x = 7, o que confirma os pontos dados. Passo 4: Encontrar o vértice V. A abscissa do vértice é x = -b/(2a) = 6/2 = 3. Então g(3) = 9 - 18 + 5 = -4, e V = (3, -4). Passo 5: Calcular a área. A base SN fica no eixo x e mede 5 - (-5) = 10. A altura é o módulo da ordenada de V, isto é, 4. Área = base x altura / 2 = 10 x 4 / 2 = 20 u. a. A alternativa D está correta. As demais estão erradas: a A dá 24, o que corresponderia a uma base de 12 em vez de 10; a B dá 18, o que exigiria uma base de 9; a C dá 22, o que exigiria uma base de 11.

💡 Dica: Use as informações dos pontos para determinar as funções e calcule a área do triângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Plataforma educacional exibe um gráfico de função quadrática em ambiente virtual. Na tela, observa-se uma parábola com…
• No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f (x) = x² + 2, com x ? R, e os…
• Uma função f : R ? R definida por f(x) = mx + n, onde m e n são números reais não nulos, é comumente denominada de…
• — Reparem no perfil de uma pista de skate, disse o professor, ela pode ser aproximada por uma parábola que cruza o piso…
• — Professor, como podemos chegar à expressão algébrica dessa curva? perguntou Ana, apontando para o gráfico exibido na…
• A parábola representada a seguir intersecta os eixos coordenados nos pontos A (1, 0), B (–1, 0) e C (0, –1). Essa…