A evolução do crescimento, ao longo do tempo t, da população de uma cidade é dada por P(t) = P0 e^(kt), onde k…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A evolução do crescimento, ao longo do tempo t, da população de uma cidade é dada por P(t) = P0 e^(kt), onde k é uma constante e P0 é a população inicial (t = 0). Se no tempo t = 30 a população dobrou em relação à população inicial P0, e supondo logaritmo natural de 2 aproximadamente igual a 69.10^-2, então encontra-se o valor de k aproximadamente igual a (UECE 2013)
- A) 23.10^-3.
- B) 23.10^-2.
- C) 178.10^-2.
- D) 178.10^-3.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A função é P(t) = P0 e^(kt). No instante t = 30 a população dobrou, então P(30) = 2P0. Substituindo: P0 e^(30k) = 2P0.
- Cancelando P0 nos dois lados, fica e^(30k) = 2.
- Aplicando o logaritmo natural nos dois lados, ln(e^(30k)) = ln 2. Como ln(e^x) = x, obtemos 30k = ln 2.
- Usando ln 2 aproximadamente igual a 0,69 (ou 69·10^-2), temos 30k = 0,69, logo k = 0,69/30 = 0,023.
- Escrevendo na forma pedida, k = 0,023 = 23·10^-3. Esse resultado corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B (23·10^-2 = 0,23) resulta de dividir 0,69 por 3 em vez de por 30; a alternativa C (178·10^-2 = 1,78) não sai de nenhum passo correto da resolução; a alternativa D (178·10^-3 = 0,178) também não corresponde ao cálculo correto com ln 2 aproximado a 0,69.
- Conclusão: a constante k é aproximadamente 0,023, alternativa A.
💡 Dica: Use a equação dada e a informação do dobro para montar uma equação e isolar k.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Aplicando P(30) = 2P0, temos 2 = e^(30k), logo ln(2) = 30k, então k = ln(2)/30 ≈ 0,69/30 = 0,023 = 23.10^-3.
O aluno resolveu corretamente até 30k = 0,69, mas dividiu por 3 em vez de por 30, o que dá 0,23. Trocou o tempo t = 30 por um valor errado na divisão final.
O aluno não conseguiu transformar a relação e^(30k) = 2 em uma operação correta com o logaritmo, chegando a um valor de k muito maior que o esperado. Provavelmente misturou as operações de logaritmo e divisão pelo tempo.
O aluno obteve um valor da ordem de 0,178, que não corresponde a ln 2 dividido por 30. Indica que ele aplicou mal o logaritmo ou a divisão pelo tempo, sem verificar se o resultado fazia sentido.
Raio-X da questão
crescimento exponencial, constante k
avaliacao
função exponencial · logaritmo natural
Estude funções exponenciais e propriedades de logaritmos naturais.
Confundir a aplicação do logaritmo natural para isolar a constante k ou esquecer que a população dobrou.
tomada_decisao
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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