Um conjunto X é formado por todos os vértices de um cubo que satisfazem a seguinte condição: se dois destes…

Questão

Um conjunto X é formado por todos os vértices de um cubo que satisfazem a seguinte condição: se dois destes vértices estão em uma mesma face, então não estão na mesma aresta. O número de planos determinados pelos pontos de X é (UECE 2012)

1. A) 4.
2. B) 6.
3. C) 8.
4. D) 10.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Entenda a condição. Dois vértices ligados por uma aresta também estão na mesma face, então a condição proíbe que X contenha dois vértices ligados por aresta. Pares na diagonal de uma face ou na diagonal do cubo são permitidos. Passo 2: Como X é formado por todos os vértices que satisfazem a condição, o interesse está no maior conjunto possível. Os 8 vértices do cubo dividem-se em duas classes alternadas, de modo que cada aresta liga vértices de classes diferentes. Passo 3: Escolhendo uma classe, por exemplo (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1) e (0,1,1) com o cubo de aresta 1, obtemos 4 vértices sem nenhum par ligado por aresta, que formam um tetraedro regular. Passo 4: Nenhum trio desses 4 pontos é colinear e os 4 pontos não são coplanares. Assim, cada trio de pontos determina um plano diferente e cada plano contém exatamente 3 dos pontos. O número de planos é C(4,3) = 4. Passo 5: Conclusão: a resposta é a alternativa A, de acordo com o gabarito. Por que as outras estão erradas: a alternativa B (6) corresponde a C(4,2), contando pares de pontos como se cada par definisse um plano, o que não é verdade para três pontos; a alternativa C (8) corresponde ao total de vértices do cubo, que não é o conjunto X; a alternativa D (10) corresponde a C(5,2), o que não tem relação com um conjunto de 4 pontos.

💡 Dica: Analise as condições para selecionar os vértices e calcule os planos formados.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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