Se o gráfico da função f : R ? R, definida por f(x) = x² + bx + c, intercepta o eixo dos y no ponto (0,4)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se o gráfico da função f : R ? R, definida por f(x) = x² + bx + c, intercepta o eixo dos y no ponto (0,4), então pode-se afirmar corretamente que (UECE 2012)
- A) a equação f(x) = 0 admite duas raízes reais e positivas.
- B) a equação f(x) = 0 não admite raízes reais.
- C) o produto das raízes da equação f(x) = 0 é -4.
- D) a equação f(x) = 0 admite raízes reais quando b ≥ 4 ou b ≤ -4.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O enunciado diz que o gráfico intercepta o eixo dos y em (0,4). Para x = 0, f(0) = c, logo c = 4 e a função é f(x) = x^2 + bx + 4. Passo 2: As raízes reais de f(x) = 0 existem quando o discriminante é não negativo: Delta = b^2 - 4·1·4 = b^2 - 16 ≥ 0, ou seja, b^2 ≥ 16. Passo 3: b^2 ≥ 16 equivale a |b| ≥ 4, isto é, b ≥ 4 ou b ≤ -4. Essa é exatamente a condição da alternativa D, que está correta e coincide com o gabarito oficial. Passo 4: A alternativa A está errada, pois duas raízes positivas exigiriam soma -b > 0 (b < 0) e Delta > 0 (b < -4); para b = 0, por exemplo, as raízes são complexas. Passo 5: A alternativa B está errada, pois para b = 5 o discriminante é 25 - 16 = 9 > 0 e há raízes reais (x = -1 e x = -4). Passo 6: A alternativa C está errada, pois o produto das raízes de x^2 + bx + c é c/a = 4, e não -4. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a D.
💡 Dica: Use o ponto dado para encontrar o valor de c na função quadrática.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que, como o termo independente é positivo, as raízes também devem ser positivas, e ignora que a soma das raízes é -b, que depende do sinal de b e exige Delta > 0.
O aluno confunde o fato de a parábola ter concavidade voltada para cima e estar acima do eixo em x = 0 com a ideia de que ela nunca toca o eixo x, sem verificar o discriminante.
O aluno aplica mal a relação de Girard, trocando o sinal do termo independente (usando -c/a em vez de c/a) e concluindo que o produto das raízes é -4.
CORRETA. A equação admite raízes reais quando o discriminante b² - 4c ≥ 0; como c = 4, isso ocorre quando b² ≥ 16, ou seja, b ≥ 4 ou b ≤ -4.
Raio-X da questão
função quadrática e intercepto
diagnostico
função quadrática básica
Estude como encontrar o intercepto no eixo y de funções quadráticas.
Confundir o valor do intercepto no eixo y com o valor de b ou interpretar mal o ponto dado.
tomada_decisao
abstrato
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