MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é p . Então, o comprimento g da geratriz do cone é [FUVEST 2006 - Questão 31] FUVEST - 2006

A) v5
B) v6
C) v7
D) v10
E) v11

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Interprete os dados. O cone tem base circular inscrita na face quadrada de lado a do paralelepípedo, então o raio da base é r = a/2. O vértice do cone fica no centro da face superior, logo a altura do cone é h = b. O volume do cone é π (o símbolo p do enunciado corresponde a π) e b/a = 3/2, ou seja, b = 3a/2. Passo 2: Escreva o volume do cone: V = (1/3) x π x r^2 x h = (1/3) x π x (a/2)^2 x b = π a^2 b / 12. Passo 3: Substitua b = 3a/2: V = π a^2 (3a/2) / 12 = π a^3 / 8. Passo 4: Iguale o volume a π: a^3 / 8 = 1, logo a^3 = 8 e a = 2. Assim b = 3. Passo 5: Com a = 2 e b = 3, o raio é r = 1 e a altura é h = 3. Passo 6: A geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por altura, raio e geratriz. Pelo Teorema de Pitágoras, g^2 = r^2 + h^2 = 1 + 9 = 10, logo g = raiz de 10, que é a alternativa D. Passo 7: Por que as demais estão erradas: a alternativa A (raiz de 5) surge se a altura for tomada igual a a = 2 em vez de b = 3; a alternativa B (raiz de 6) surge se o raio for tomado como metade da diagonal da base (raiz de 2) e a altura como a = 2; a alternativa C (raiz de 7) não corresponde a nenhuma combinação correta de raio e altura; a alternativa E (raiz de 11) surge se o raio for tomado como metade da diagonal (raiz de 2) mantendo a altura correta h = 3.

💡 Dica: Use as relações geométricas do cone e do paralelepípedo para expressar a geratriz em função dos dados.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Interpretação

Usa a altura do cone igual à aresta a = 2, ignorando que a altura corresponde à dimensão b = 3 do paralelepípedo.

B Erradaerro: Conceitual

Toma o raio do cone como metade da diagonal da base (raiz de 2) em vez de metade do lado, e usa altura igual a a = 2.

C Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Erra no cálculo do volume, por exemplo esquecendo o fator 1/3, chega a dimensões que não são inteiras e tenta forçar um valor, o que leva a uma geratriz sem relação com os dados.

Por que engana: Confundir a relação entre as dimensões do paralelepípedo e as do cone, aplicando incorretamente a fórmula do volume.

D Correta

CORRETA. O cálculo correto da geratriz resulta em v10.

E Erradaerro: Conceitual

Toma o raio como metade da diagonal da base (raiz de 2), em vez de metade do lado, e soma 2 + 9 usando a altura correta h = 3.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

geometria espacial, volume, geratriz do cone

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume de sólidos · propriedades do cone

📚 Reveja

Revisar propriedades do cone inscrito e cálculo de volume e geratriz.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre as dimensões do paralelepípedo e as do cone, aplicando incorretamente a fórmula do volume.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

Questões parecidas com resolução

🔎 Procurar outra questão

Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.

Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog