Considere a função f(x) = -x² + 6x - 8. No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a função f(x) = -x² + 6x - 8. No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o eixo x. Sendo R = (a, b) um ponto do gráfico de f, com b > 0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo PQR. (UFPR 2024)
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Fatore a função. f(x) = -x² + 6x - 8 = -(x² - 6x + 8) = -(x - 2)(x - 4). As raízes são x = 2 e x = 4, logo P = (2, 0) e Q = (4, 0). Passo 2: A base do triângulo PQR é o segmento PQ, de comprimento 4 - 2 = 2. Passo 3: A área é (base × altura) / 2, então precisamos maximizar a altura, que é o valor de b (ordenada de R). Passo 4: A condição b > 0 significa que R está acima do eixo x, portanto a parábola deve estar acima do eixo, ou seja, entre as raízes (2 < a < 4). Passo 5: O valor máximo de f ocorre no vértice, em x = -6/(2·(-1)) = 3. Então f(3) = -9 + 18 - 8 = 1. Logo, a altura máxima é b = 1. Passo 6: Área máxima = (2 × 1) / 2 = 1. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a A. O gabarito oficial está correto. Passo 8: Por que as outras estão erradas: a B (2) só seria obtida ignorando o fator 1/2 da fórmula da área; a C (3) exigiria altura 3, que é a coordenada x do vértice e não a ordenada; a D (4) exigiria base 4, que é a coordenada de Q e não o comprimento PQ.
💡 Dica: Calcule as raízes, determine a área do triângulo e maximize em função de a.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O maior valor numérico da área do triângulo formado pelos pontos P, Q e R com b > 0 é 1, obtido ao maximizar a área usando as raízes da função e a coordenada do ponto R.
O aluno calcula corretamente a base 2 e a altura 1, mas esquece de dividir o produto por 2 na fórmula da área do triângulo, achando que a área é simplesmente base vezes altura.
O aluno confunde a altura do triângulo com a coordenada x do vértice (x = 3), usando altura 3 em vez da ordenada máxima f(3) = 1, e obtém (2 × 3) / 2 = 3.
O aluno toma a base como 4, usando a coordenada x de Q como se fosse o comprimento do lado PQ e ignorando que P está em x = 2, e combina essa base com altura 2, obtendo (4 × 2) / 2 = 4.
Raio-X da questão
função quadrática, raízes, área triângulo
diagnostico
função quadrática · geometria analítica básica
Estude funções quadráticas, cálculo de raízes e área de triângulos.
Confundir o cálculo das raízes da função com o cálculo da área do triângulo, ou não maximizar corretamente a área.
pensamento_critico
abstrato
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