Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares para se sentar em uma mesa hexagonal regular. Cada lugar corresponde a…

Questão

Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares para se sentar em uma mesa hexagonal regular. Cada lugar corresponde a um dos lados do hexágono, que estão numerados de 1 a 6, conforme a figura ao lado. Os lados 1 e 4 são considerados lados opostos na mesa, assim como 2 e 5, e 3 e 6. De quantas formas diferentes Ana, Beatriz e Carlos podem escolher os lugares numerados de modo que nenhum deles fique sentado ao lado oposto do outro? (UFPR 2023)

1. A) 48.
2. B) 36.
3. C) 24.
4. D) 12.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Interprete o problema como a contagem de maneiras de distribuir Ana, Beatriz e Carlos em três lugares distintos, de modo que nenhum dois ocupem lados opostos. Os pares opostos são (1,4), (2,5) e (3,6). Passo 2: Para que nenhum par de pessoas fique em lados opostos, as três posições escolhidas não podem conter nenhum dos pares opostos. Como há três pares de lados opostos, cada pessoa deve ocupar um lado de pares diferentes. Passo 3: Escolha um lado de cada par, para formar um conjunto de três posições. Há 2 escolhas por par, portanto 2 x 2 x 2 = 8 conjuntos possíveis de três lados sem pares opostos. Passo 4: Para cada um desses 8 conjuntos, Ana, Beatriz e Carlos podem trocar de lugar entre as três posições de 3! = 6 maneiras diferentes, pois a ordem de quem senta onde importa. Passo 5: Multiplicando, temos 8 x 6 = 48 formas. Passo 6: Verificação pelo método sequencial: Ana tem 6 lugares; Beatriz não pode ficar no lugar de Ana nem no oposto dele, então tem 4 opções; Carlos não pode ficar nos lugares já ocupados nem no oposto de Ana nem no oposto de Beatriz, sobrando 2 opções. Assim, 6 x 4 x 2 = 48. Passo 7: Logo, a alternativa correta é a A (48). Quanto às outras: B (36) erra ao supor que alguma posição adicional, como um lado vizinho, também fica proibida; C (24) conta corretamente os 8 conjuntos, mas multiplica por 3 em vez de 3!; D (12) considera apenas parte dos conjuntos válidos de posições.

💡 Dica: Considere as restrições de lugares opostos e calcule as permutações possíveis.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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