MatemáticaUFPRBNCC EM13MAT301Difícil⏱ longo

Na figura ao lado, temos uma circunferência de raio r>0 com centro na origem do plano complexo e, ao longo da…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Na figura ao lado, temos uma circunferência de raio r>0 com centro na origem do plano complexo e, ao longo da circunferência, temos 6 números complexos: z1, z2, z3, z4, z5, z6. Supondo que os 6 números complexos são vértices de um hexágono regular e que z1 está no eixo x, considere as seguintes equações: 1. z2 + z6 = r² 2. conjugado(z3) = z5 3. z2 * z3 = z4 4. z5 / z6 = z6 / r Assinale a alternativa correta. Assinale a alternativa correta. (UFPR 2022)

A) Somente a equação 3 é verdadeira.
B) Somente as equações 1 e 3 são verdadeiras.
C) Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.
D) Somente as equações 1, 2 e 4 são verdadeiras.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Como z1 está sobre o eixo x e os seis vértices dividem a circunferência em arcos de 60 graus, temos z1 = r, z2 = r·e^(iπ/3), z3 = r·e^(i2π/3), z4 = -r, z5 = r·e^(i4π/3) e z6 = r·e^(i5π/3). Passo 2: Equação 1: z2 + z6 = r·(e^(iπ/3) + e^(i5π/3)) = r·(1/2 + 1/2) = r. Como r é diferente de r^2 em geral (só coincidem se r = 1), a equação 1 é falsa. Passo 3: Equação 2: o conjugado de z3 é r·e^(-i2π/3) = r·e^(i4π/3) = z5, portanto a equação 2 é verdadeira. Passo 4: Equação 3: z2·z3 = r^2·e^(iπ) = -r^2, enquanto z4 = -r; essas quantidades só coincidem se r = 1, logo a equação 3 é falsa em geral. Passo 5: Equação 4: z5/z6 = e^(i4π/3)/e^(i5π/3) = e^(-iπ/3), e z6/r = e^(i5π/3) = e^(-iπ/3); portanto a equação 4 é verdadeira. Passo 6: Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras, o que corresponde à alternativa C. Nas erradas: A falha porque a equação 3 é falsa; B falha porque a equação 1 é falsa; D falha porque a equação 1 é falsa.

💡 Dica: Use propriedades dos números complexos e do hexágono regular para verificar as equações.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Acredita que o produto z2·z3 é igual a z4 por multiplicar os argumentos sem tratar corretamente os módulos, ignorando que o módulo do produto é r^2 e não r.

B Erradaerro: Atenção

Aceita a equação 1 como verdadeira ao confundir o valor da soma r (apenas das partes reais) com r^2, misturando grandezas de dimensões diferentes.

C Correta

CORRETA. As equações 2 e 4 são verdadeiras com base nas propriedades do hexágono regular e dos números complexos no plano.

D Erradaerro: Conceitual

Julga a equação 1 verdadeira por supor que z2 + z6 = r^2 vale para qualquer raio, sem perceber que a soma resulta em r e que a igualdade só valeria para r = 1.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

números complexos, hexágono regular

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

números complexos básicos · propriedades de polígonos regulares

📚 Reveja

Estude propriedades dos números complexos e polígonos regulares.

⚠️ Erro mais comum

Confundir propriedades dos números complexos ou não relacionar corretamente as equações com o hexágono regular.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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