Considere o hexágono regular inscrito na circunferência de raio 2 centrada na origem do sistema de coordenadas…

Questão

Considere o hexágono regular inscrito na circunferência de raio 2 centrada na origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme representado na figura ao lado. Nessas condições, é INCORRETO afirmar: (UFPR 2009)

1. A) A equação da circunferência é x² + y² = 4.
2. B) O triângulo com vértices nos pontos B, D e F é eqüilátero.
3. C) A distância entre os pontos A e D é 4.
4. D) A equação da reta que passa pelos pontos A e C pode ser escrita na forma px + qy = r, com r = 0.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Na figura, o hexágono regular está inscrito na circunferência de raio 2 centrada na origem, com vértices A, B, C, D, E e F em ordem ao redor da circunferência. Como o gabarito indica D como a afirmação incorreta, as demais devem ser verdadeiras. Para os cálculos, usamos A = (2, 0), B = (1, raiz de 3), C = (-1, raiz de 3), D = (-2, 0), E = (-1, -raiz de 3) e F = (1, -raiz de 3), que são os vértices de um hexágono regular de raio 2 centrado na origem. Passo 2: Alternativa A (verdadeira): a circunferência tem centro na origem e raio 2, logo sua equação é x² + y² = 2² = 4. Passo 3: Alternativa B (verdadeira): os vértices B, D e F estão igualmente espaçados a cada 120 graus, então seus lados são cordas de mesmo comprimento. A distância BD, entre (1, raiz de 3) e (-2, 0), é raiz de (9 + 3) = 2 raiz de 3. A distância DF, entre (-2, 0) e (1, -raiz de 3), também é 2 raiz de 3. A distância BF, entre (1, raiz de 3) e (1, -raiz de 3), é 2 raiz de 3. Os três lados são iguais, e o triângulo é equilátero. Passo 4: Alternativa C (verdadeira): A e D estão em lados opostos do centro, então AD é um diâmetro, igual a 2 vezes o raio, ou seja, 4. Passo 5: Alternativa D (incorreta, gabarito): a reta AC passa por (2, 0) e (-1, raiz de 3). Seu coeficiente angular é (raiz de 3 - 0) / (-1 - 2) = -raiz de 3 / 3, e a equação é y = -(raiz de 3 / 3)(x - 2). Para x = 0, obtemos y = 2 raiz de 3 / 3, que é diferente de zero. Assim, a reta não passa pela origem. Como uma equação px + qy = r com r = 0 sempre representa uma reta que passa pela origem, essa forma não pode representar AC. Portanto, a afirmação é incorreta.

💡 Dica: Analise as propriedades do hexágono regular e sua relação com a circunferência.

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Raio-X da questão

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