O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função I(t) = I_0 2^(rt), em que I(t) representa o número de infectados da população, I_0 > 0 representa o número inicial de infectados, r > 0 representa a taxa de contágio e t é o tempo medido em dias desde o início da epidemia. Com relação ao número de infectados, é correto afirmar: (UFPR 2021)
- A) Caso a taxa de infectados r esteja no intervalo (0,1), então o número de infectados I(t) decresce conforme os dias passam.
- B) Caso I_0 = 3 e r = 2,3, então o número de infectados I(t) aumenta desde o primeiro dia até atingir um máximo por volta do sexto dia, e depois começa a decrescer.
- C) Caso I_0 = 1 e r = 1, então a cada dia que passa a quantidade de infectados I(t) aumenta em 2.
- D) Caso I_0 = 1 e r = 0,5, então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados I(t) seja maior que 1.000.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A função é I(t) = I_0 * 2^(rt), com I_0 > 0 e r > 0. Como a base 2 é maior que 1, a função é crescente em t sempre que r > 0. Passo 2: Para a alternativa D, I_0 = 1 e r = 0,5, temos I(t) = 2^(0,5t). Queremos I(t) > 1000, ou seja, 2^(0,5t) > 1000. Aplicando log na base 2, 0,5t > log de 1000 na base 2, que é aproximadamente 9,966. Logo t > 19,93 dias. Passo 3: Como t é medido em dias inteiros, o menor valor possível é t = 20. Verificação: I(19) = 2^9,5 é aproximadamente 724, menor que 1000, e I(20) = 2^10 = 1024, maior que 1000. Portanto a D está correta. Passo 4: A alternativa A está errada, pois com r entre 0 e 1 o expoente rt ainda cresce com t e a base 2 faz I(t) crescer, não decrescer. Passo 5: A alternativa B está errada, pois a função exponencial crescente não atinge máximo; ela cresce indefinidamente para qualquer I_0 > 0 e r > 0. Passo 6: A alternativa C está errada, pois com I_0 = 1 e r = 1 temos I(t) = 2^t, que dobra a cada dia (1, 2, 4, 8...), e não aumenta em uma quantidade fixa de 2 por dia. Passo 7: Gabarito oficial D confirmado pela resolução independente.
💡 Dica: Analise a função exponencial e relacione os parâmetros com o crescimento dos infectados.
Alternativa por alternativa
Acredita que, por r ser uma fração pequena, o expoente reduz a quantidade e a função passa a decrescer. Confunde expoente fracionário positivo com decaimento exponencial.
Imagina que a função tem um ponto de máximo, como uma parábola, e que o crescimento sempre para. Não percebe que a exponencial crescente com base maior que 1 cresce indefinidamente.
Interpreta a função como linear, somando um valor fixo a cada dia, em vez de multiplicar por 2 a cada dia. Confunde o fator multiplicativo da exponencial com um acréscimo constante.
CORRETA. Com I_0 = 1 e r = 0,5, é necessário resolver 2^(0,5t) > 1000, o que ocorre para t > 20 dias, confirmando a afirmação.
Raio-X da questão
função exponencial crescimento
diagnostico
função exponencial básica · interpretação de parâmetros
Estude funções exponenciais e interpretação de parâmetros em modelos matemáticos.
Confundir o papel dos parâmetros I_0 e r na função exponencial, ou interpretar incorretamente o crescimento da função.
pensamento_critico
cientifico
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