Em uma população totalmente suscetível a uma doença infecciosa, o número de novas infecções C(n), no instante…

Questão

Em uma população totalmente suscetível a uma doença infecciosa, o número de novas infecções C(n), no instante de tempo n, cresce em progressão geométrica de razão q > 0. Isto é, C(n) = C0q^n , onde n é expresso em uma certa unidade de medida e C0 é a quantidade de infectados no instante inicial n = 0. A seguir, é apresentada uma tabela com exemplos. Suponha que uma cidade totalmente suscetível, na Europa medieval, tenha sido tomada pela Peste Negra, que se iniciou com C0 = 15 infectados. Considerando que, em 8 dias, a soma de infectados desde o início da infestação totalizou 195 pessoas e que a unidade de medida seja de 4 dias, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a razão q. UEL - 2018 Doença | q | Unidade de medida Sarampo | 15 | 4 dias Difteria | 6 | 4 dias SARS | 5 | 10 dias Influenza (cepa pandêmica de 1918) | 3 | 7 dias Ebola (surto de 2014) | 2 | 2 semanas

1. A) 2
2. B) 3
3. C) 5
4. D) 6
5. E) 10

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. A unidade de medida do enunciado é de 4 dias, então os 8 dias correspondem a n = 0, n = 1 e n = 2 (instantes 0, 4 e 8 dias). A soma de infectados nesse intervalo é C(0) + C(1) + C(2). Passo 2: Com C0 = 15 e C(n) = 15q^n, temos a soma 15 + 15q + 15q^2 = 195. Passo 3: Dividindo por 15, obtemos 1 + q + q^2 = 13, ou seja, q^2 + q - 12 = 0. Passo 4: Fatorando, (q + 4)(q - 3) = 0, logo q = 3 ou q = -4. Como q > 0 é exigido pelo enunciado, q = 3. Passo 5: Verificação: 15 + 45 + 135 = 195, que confere com o total informado. Passo 6: Por que as outras estão erradas: com q = 2 a soma seria 15 + 30 + 60 = 105; com q = 5 seria 15 + 75 + 375 = 465; com q = 6 seria 15 + 90 + 540 = 645; com q = 10 seria 15 + 150 + 1500 = 1665, todas diferentes de 195. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a B, q = 3, coincidindo com o gabarito oficial.

💡 Dica: Use a fórmula da soma da progressão geométrica para encontrar q.

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Raio-X da questão

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