Na figura abaixo estão representados o sistema cartesiano ortogonal Oxy e o ponto A=(2,1). Para cada ponto…

Questão

Na figura abaixo estão representados o sistema cartesiano ortogonal Oxy e o ponto A=(2,1). Para cada ponto P=(p,0) fixado no eixo x, com p ? 2, obtém-se uma reta r que passa pelos pontos P e A e intercepta o eixo y em um ponto Q=(0,q). Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I. Se p = 3, então a equação da reta r é x + 2y - 3 = 0. II. Se q = 2, então a reta r é paralela à reta de equação x + 2y + 1 = 0. III. Se p = q, então a área do triângulo OPQ é de 9/2 unidades de área. Assinale a alternativa correta. Assinale a alternativa correta. (UFPR 2005)

1. A) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
2. B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
3. C) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
4. D) Somente a afirmativa II é verdadeira.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Para p = 3, a reta passa por (3,0) e A = (2,1). Sua inclinação é -1, portanto sua equação é x + y - 3 = 0. Assim, a afirmativa I, tal como está escrita, não é verdadeira: x + 2y - 3 = 0 não passa por A.
2. Se q = 2, a reta passa por (0,2) e (2,1), tendo equação x + 2y - 4 = 0. Ela é paralela a x + 2y + 1 = 0, pois as retas têm os mesmos coeficientes de x e y. A afirmativa II é verdadeira.
3. Da reta que passa por A e por (p,0), obtém-se q = p/(p - 2). Se p = q, resulta p = q = 3; logo, a área de OPQ é (3 × 3)/2 = 9/2. A afirmativa III é verdadeira.
4. Com os dados transcritos, somente II e III são verdadeiras, o que corresponde à alternativa A. Isso não coincide com o gabarito informado (C); para que C fosse correta, a equação da afirmativa I precisaria ser x + y - 3 = 0.

💡 Dica: Use a equação da reta para encontrar relações entre p, q e a área do triângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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