O chamado conjunto de Cantor, formado pelos infinitos pontos que são os extremos de segmentos de retas, gera…

Questão

O chamado conjunto de Cantor, formado pelos infinitos pontos que são os extremos de segmentos de retas, gera uma curva que é um fractal. Esse conjunto é resultante da remoção, infinitas vezes, do terço central de segmentos de reta. No exemplo a seguir, apresentam-se os quatro primeiros passos da obtenção desses pontos. Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 No passo 6 desse exemplo, a quantidade de pontos que são os extremos dos segmentos formados é: (UERJ 2026)

1. A) 32
2. B) 64
3. C) 128
4. D) 256

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. No passo 1 temos o segmento inicial, que possui 2 extremos (um em cada ponta). Passo 2: Remove-se o terço central do segmento, restando 2 segmentos. Agora há 4 extremos, pois cada um dos 2 segmentos tem 2 pontas, e nenhuma ponta é compartilhada. Passo 3: Em cada um dos 2 segmentos remove-se o terço central, obtendo 4 segmentos e 8 extremos. Passo 4: Cada um dos 4 segmentos perde seu terço central, resultando em 8 segmentos e 16 extremos. Passo 5: O mesmo procedimento gera 16 segmentos e 32 extremos. Passo 6: Ao remover o terço central de cada um dos 16 segmentos, obtemos 32 segmentos e 64 extremos. Passo 7: Regra geral: a cada passo, o número de segmentos dobra, e cada segmento novo tem 2 extremos distintos. Assim, no passo k há 2^(k-1) segmentos e 2^k extremos. Para k = 6, temos 2^6 = 64 extremos, que é a alternativa correta, B. Justificativa das erradas: A) 32 é o número de segmentos no passo 6, e não de extremos. C) 128 corresponderia ao passo 7, pois a contagem começa no passo 1 com 2 extremos. D) 256 viria de um crescimento por quádruplos a cada passo, o que não ocorre, pois os segmentos apenas dobram a cada etapa.

💡 Dica: Calcule o número de extremos considerando a duplicação a cada passo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• A sequência de figuras, desenhadas em uma malha quadriculada, indica as três primeiras etapas de formação de um fractal…
• Um artista desenha, com compasso, uma circunferência de 5 cm de raio (a circunferência central). Depois, marca seis…
• Numa projeção de arte digital, foram marcados os pontos A(1, 1), B(2, 3) e C(4, 6) para formar um traço contínuo. —…
• Quem disse que geometria não pode virar arte? Em uma folha em branco, três pontos A, B e C foram marcados de modo não…
• Durante a criação de um mosaico circular para a parede de um centro cultural, a artista marcou um ponto O no papel e…
• Por que uma construção geométrica tão simples revela um padrão surpreendente? Considere uma sequência de figuras…