Em um jogo, foram utilizados um tabuleiro quatro por quatro e um dado cúbico, no qual a soma dos números em…

Questão

Em um jogo, foram utilizados um tabuleiro quatro por quatro e um dado cúbico, no qual a soma dos números em suas faces opostas vale sempre 7. Admita que esse dado só pode rodar para a direita ou para frente, em torno de sua aresta, cobrindo um quadradinho do tabuleiro. Na figura 1, a seguir, estão indicados o ponto de partida, no vértice ilustrado do tabuleiro, e o ponto de chegada, no vértice oposto. Há vários caminhos que o dado pode percorrer até o ponto de chegada. Um desses caminhos está indicado na figura 1, pelos quadradinhos assinalados com X. A figura 2 representa o primeiro movimento do jogo. Determine o número da face que vai ficar voltada para cima no final desse caminho. Calcule, ainda, o número total de caminhos distintos. Determine o número da face que vai ficar voltada para cima no final desse caminho. Calcule, ainda, o número total de caminhos distintos. (UERJ 2026)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere D seguir para direita e F, para frente. Assim, para chegar à posição final é preciso haver 3 D e 3 F. O caminho destacado é FDDDF, mas qualquer permutação dessas letras é um possível caminho. Então o número total de caminhos distintos é: P_6^{3,3} = \frac{6!}{3!.3!} = \frac{6.5.4}{3!} = 20. As faces que ficam sobre a mesa em cada movimento do dado estão indicadas na figura acima. Quando o dado roda e o número 4 fica sobre o tabuleiro, o número 1 fica na face da frente; então, o dado se move mais três vezes para direita mantendo a face 1 na frente. Quando o dado faz o último movimento, que é para frente, a face 1 fica sobre o tabuleiro e a face oposta fica voltada para cima. Logo, a face voltada para cima é a de número 6.

Explicação

Representar as rotações do dado passo a passo e usar o princípio combinatório para contar os caminhos.

Raio-X da questão

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