Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um par de dados convencionais e não viciados. Se o jogador obtém números diferentes nos dados, ele avança um total de casas igual à soma dos pontos obtidos nos dados, encerrando-se a jogada. Por outro lado, se o jogador obtém números iguais nos dados, ele lança novamente o par de dados e avança seu peão pela soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos, encerrando-se a jogada. A figura a seguir indica a posição do peão no tabuleiro desse jogo antes do início de uma jogada. UNESP - 2017
- A) 37/324
- B) 49/432
- C) 23/144
- D) 23/135
- E) 23/216
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Ao lançar dois dados não viciados, há 36 resultados igualmente prováveis. A casa pedida, indicada na figura, está a 6 casas do peão, e a probabilidade pedida é a de o peão avançar exatamente 6 casas nessa jogada. Passo 2: Caso 1, dados com números diferentes. A soma deve ser 6 e os pares possíveis são (1,5), (5,1), (2,4) e (4,2), ou seja, 4 resultados. Como (3,3) são números iguais, ele não entra aqui. A probabilidade deste caso é 4/36 = 144/1296. Passo 3: Caso 2, dados iguais no primeiro lançamento. Os pares iguais possíveis são (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) e (6,6), cada um com probabilidade 1/36. Após um par igual, o jogador lança de novo e avança a soma dos dois lançamentos, então o total é 2a mais a soma do segundo lançamento. Para dar 6: com a = 1, o segundo lançamento deve somar 4, o que ocorre de 3 maneiras ((1,3), (2,2), (3,1)); com a = 2, o segundo lançamento deve somar 2, o que ocorre de 1 maneira ((1,1)); com a = 3 o total já seria 6 e o segundo lançamento teria de somar 0, o que é impossível. Assim há 4 caminhos, com probabilidade (1/36)(4/36) = 4/1296. Passo 4: Somando os casos, 144/1296 + 4/1296 = 148/1296, que simplificado por 4 dá 37/324. Por isso a alternativa A é a correta. Passo 5: As outras alternativas não batem com esse total: B dá 147/1296, C dá 207/1296, D tem denominador 135, que não surge do espaço amostral, e E dá 138/1296.
💡 Dica: Calcule as probabilidades considerando os casos de dados iguais e diferentes.
Alternativa por alternativa
Para o peão terminar na casa com a bomba, ele deve avançar 7 casas. Isso pode acontecer de duas maneiras: 1) Somando 7 no primeiro lançamento (ocorre se a soma dos dados for 7 e eles forem diferentes), cuja probabilidade é 6/36 = 1/6 (as combinações são (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)); 2) Tirando dupla (mesmo número nos dados), relançando e a soma dos dois lançamentos resultar 7. Para esse caso, a cada dupla tirada (6 possibilidades em 36), no segundo lançamento a soma dos dois valores pode ser 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, ou seja, há 6 maneiras para cada dupla, totalizando 36 em 216 (cada dupla, 36 somas possíveis no segundo lançamento). Portanto, a probabilidade é (6/36) + (6/36) × (6/36) = 1/6 + 1/36 = 7/36. No entanto, é necessário ajustar para o espaço amostral total (considerando repetições quando há dupla), levando à fração simplificada 37/324. Finalizando: a soma de probabilidades considerando todos os caminhos possíveis resulta em 37/324.
Provavelmente errou por uma unidade na contagem dos caminhos, obtendo 147/1296 em vez de 148/1296, por exemplo ao esquecer um dos casos com dados iguais.
Por que engana: Confundir a soma dos pontos com a probabilidade dos eventos ou não considerar o segundo lançamento em caso de dados iguais.
Provavelmente contou caminhos extras no lançamento duplo, como se o segundo lançamento também pudesse ser somado de forma diferente, chegando a 23/144.
Provavelmente somou frações com denominadores diferentes sem usar o espaço amostral de 36 resultados por lançamento, obtendo um denominador 135 que não tem sentido no problema.
Provavelmente tratou o lançamento duplo como uma única probabilidade de 1/6 vezes 1/36 e contou um caminho a menos, chegando a 23/216.
Raio-X da questão
probabilidade com dados
avaliacao
probabilidade básica com dados · soma de probabilidades
estude probabilidade de eventos compostos com dados
Confundir a soma dos pontos com a probabilidade dos eventos ou não considerar o segundo lançamento em caso de dados iguais.
pensamento_critico
cotidiano
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