Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a…

Questão

Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir. Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar o polígono regular ABCDEFGH...A, que possui dois eixos de simetria indicados pelas retas r e s. Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB e FG, o número de lados do polígono ABCDEFGH...A é igual a: (UERJ 2020)

1. A) 18
2. B) 20
3. C) 24
4. D) 30

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Como o polígono ABCDEFGH...A é regular, todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os vértices estão na mesma circunferência, com centro O. Se o polígono tem n lados, cada lado corresponde a um ângulo central de 360/n graus. Passo 2: Os eixos de simetria de um polígono regular passam pelo centro O. Como r é mediatriz de AB, ela passa pelo ponto médio de AB e por O. Da mesma forma, s passa pelo ponto médio de FG e por O. Passo 3: Percorrendo o contorno do ponto médio de AB até o ponto médio de FG, passamos por metade de AB, pelos lados BC, CD, DE e EF inteiros, e por metade de FG. São 5 lados inteiros de percurso, ou seja, 5 intervalos de 360/n graus entre os pontos médios, o que dá um ângulo central de 5 vezes 360/n, isto é, 1800/n graus. Passo 4: As retas r e s são perpendiculares, logo o ângulo entre elas é de 90 graus (ou 270 graus, que determina as mesmas retas). Portanto 1800/n = 90 + 180k, com k inteiro não negativo. Isso equivale a n = 20/(2k+1). Passo 5: Como n precisa ser inteiro e o polígono deve conter pelo menos os lados AB, BC, CD, DE, EF e FG mostrados, o único valor possível é k = 0, o que dá n = 20. Com k = 2, teríamos n = 4, impossível para um polígono que contém seis lados nomeados. Passo 6: Verificação: cada lado corresponde a 360/20 = 18 graus, e 5 lados correspondem a 5 vezes 18 = 90 graus, o que confirma a perpendicularidade das mediatrizes. Passo 7: A alternativa A (18) não serve, pois 5 vezes 360/18 dá 100 graus, que não é perpendicular. A alternativa C (24) não serve, pois 5 vezes 360/24 dá 75 graus. A alternativa D (30) não serve, pois 5 vezes 360/30 dá 60 graus. Resposta: alternativa B, 20 lados.

💡 Dica: Analise a simetria e a alternância dos polígonos para determinar o número total de lados.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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