MatemáticaUERJBNCC EM13MAT401Difícil⏱ medio

A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta da base mede b e sua aresta lateral mede h…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT401

Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta da base mede b e sua aresta lateral mede h. Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de modo que o volume da pirâmide ABCP seja exatamente 1/9 do volume total do prisma. Logo, a medida de AP é igual a: (UERJ 2018)

A) h/9
B) h/3
C) 2h/3
D) 5h/6

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Identifique as figuras. A base ABC é um triângulo equilátero de lado b, e a altura do prisma é h, medida pela aresta lateral. O ponto P está sobre a aresta lateral que passa por A, de modo que AP é a altura da pirâmide ABCP em relação à base ABC. Passo 2: Calcule a área da base. A área do triângulo equilátero é (b^2 raiz de 3)/4. Passo 3: Calcule o volume total do prisma. Ele é a área da base vezes a altura: V_prisma = ((b^2 raiz de 3)/4) * h. Passo 4: Calcule o volume da pirâmide ABCP. Ele é (1/3) vezes a área da base ABC vezes a altura AP: V_pirâmide = (1/3) * ((b^2 raiz de 3)/4) * AP. Passo 5: Monte a razão. Como V_pirâmide = (1/9) V_prisma, temos (1/3) * AP = (1/9) * h. Passo 6: Isole AP. Multiplicando os dois lados por 3, AP = (3/9) * h = h/3. Passo 7: Conclusão. A medida de AP é h/3, alternativa B. Por que as outras estão erradas: A) h/9 ignora o fator 1/3 do volume da pirâmide; C) 2h/3 é a parte restante da aresta, não o segmento AP; D) 5h/6 não resulta de nenhuma proporção correta com a fração 1/9.

💡 Dica: Use a relação entre volumes de pirâmide e prisma para encontrar AP.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno iguala diretamente a razão de volumes à razão das alturas, fazendo AP/h = 1/9, e esquece que o volume da pirâmide carrega o fator 1/3.

Por que engana: Confundir a proporção do volume da pirâmide com a relação linear das arestas.

B Correta

CORRETA. Como a base da pirâmide coincide com a base do prisma, a razão dos volumes depende apenas da razão das alturas. Se o volume da pirâmide é 1/9 do volume do prisma, a altura AP deve ser h/3, pois (AP/h) = 1/3 e (1/3)³ = 1/9.

C Erradaerro: Interpretação

O aluno confunde AP com o trecho complementar da aresta lateral, medido a partir do outro vértice, e calcula h - h/3 = 2h/3.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno aplica de forma incorreta a fração 1/9, subtraindo frações sem relação com o volume (por exemplo, 1 - 1/6) e obtendo um valor que não corresponde à proporção dos volumes.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

volume de pirâmide e prisma

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume de prismas · volume de pirâmides

📚 Reveja

Estude cálculo de volumes de prismas e pirâmides.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a proporção do volume da pirâmide com a relação linear das arestas.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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